Globale Extrema

16.07.2024, 13:01

sandwich

Globale Extrema

Hallo

Es geht um die globalen Extrema der Funktion f(x,y,z) = x² - yz auf der abgeschlossenen Einheitskugel K.

Meine Idee ist es über den Lagrange-Ansatz zu gehen :

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda)=x^2-yz+\lambda \cdot(x^2+y^2+z^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_x=0 \iff 2x+2 \lambda x=0 \iff x=0 ~ \text{oder} ~ \lambda=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_y=0 \iff -z+2\lambda y=0 \iff z=2 \lambda y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_z=0 \iff -y+2\lambda z=0 \iff y=2 \lambda z \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in x²+y²+z²=1 erhalte ich damit 5z²=1 bzw. 5y²=1 und das führt dann bei mir zu den 4 Punkten:

$\begin{eqnarray*} E_1(0,\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2(0,-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_3(0,-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_4(0,\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}) \end{eqnarray*}$

Zur Kontrolle wollte ich das mal mit einem Online-Rechner überprüfen und die Ergebnisse stimmen nicht mal annähernd überein.

Könnt ihr mir vielleicht sagen was ich falsch mache ?

16.07.2024, 15:42

nichteuerernst

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RE: Globale Extrema
Ich habe zu wenig Erfahrung mit Langrange.
Was mir sofort auffällt: Du schreibst

Zitat:

x=0 oder $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =1

um dann die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =1 zu ignorieren.

Ohne Lagrange:

Da die Punkte auf der Einheitskugel liegen gilt x²+y²+z²=1 und somit
x²=1-(y²+z²).
Aus f(x,y,z) = x² - yz wird damit
f(y,z)= 1-y²-z²-yz
Wegen der Symmetrie zwischen y und z sind extreme Werte dann zu erwarten, wenn y=z gilt.
Dann haben wir f(y)=1-3y². Das wird maximal für y=z=0 und minimal, wenn y²=z²=0,5.

16.07.2024, 16:46

sandwich

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Zitat:

Ich habe zu wenig Erfahrung mit Langrange.

Bei mir ähnlich, aber man löst nach dem vorbereitenden Ableiten eigentlich ja immer nur stumpf ein Gleichungssystem.

Zitat:

um dann die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ zu ignorieren.

Zunächst mal steht oben $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$ und ignoriert habe ich diese Lösung nicht, ansonsten müsste ich ja nach dem erwähnten Einsetzen in die Kugelgleichung eine Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ haben, was offensichtlich nicht der Fall ist, wenn man 5z²=1 bzw. 5y²=1 betrachtet.

Zitat:

Aus f(x,y,z) = x² - yz wird damit
f(y,z)= 1-y²-z²-yz

Ich hatte auch davor mal so angesetzt und bin auf diese Funktion gekommen.

Das Lösen des LGS, was durch fy=0 und fz=0 gegeben ist, führte bei mir zu y=z=0.
Mit der Kugelgleichung würde das zu x²=1 <=> x=1 oder x=-1 führen.
Somit wäre in den Punkten (1,0,0) und (-1,0,0) wegen der hier stets negativ definiten Hessematrix $\begin{eqnarray*} H=\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ jeweils ein Maximum mit $\begin{eqnarray*} f(\pm 1,0,0)=1 \end{eqnarray*}$

Laut CAS soll es aber z.B. auch noch Lösungen (ein Minimum) für x=0 und $\begin{eqnarray*} y=z= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ geben. verwirrt

16.07.2024, 17:10

sandwich

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Ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden, ich habe - warum auch immer - beide Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} L_x=0 \end{eqnarray*}$ gleichzeitig eingesetzt.

Betrachtet man zunächst nur $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$ dann ergibt sich durch die anderen beiden Gleichungen y=z=0 und durch die Kugelgleichung wiederum x=1 oder x=-1.

Widmet man sich dann x=0 und nutzt $\begin{eqnarray*} 2 \lambda=\frac{z}{y}=\frac{y}{z} \end{eqnarray*}$ , dann folgt mit y und z ungleich Null somit y²=z² und eingesetzt in die Kugelgleichung 2y²=1 bzw. 2z²=1, was zu den anderen Lösungen führt. Idee!

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