Bestimmte Eigenschaft im Ring zeigen

16.07.2024, 22:48

KonverDiv

Bestimmte Eigenschaft im Ring zeigen

Hallo

,

Angenommen $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist ein Ring und es gelte $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} 2a = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz, es ist $\begin{eqnarray*} (a+a)^2 = (a+a)(a+a) = a^2 + a^2 + a^2 + a^2 = 2a^2 +2a^2 \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite ist $\begin{eqnarray*} (a+a)^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \end{eqnarray*}$ , draus folgt $\begin{eqnarray*} 2a^2 + 2a^2 = 2a^2 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} 2a^2 = 0 \end{eqnarray*}$ und weiter folgt daraus $\begin{eqnarray*} 2a = 0 \end{eqnarray*}$ .

Geht das so? verwirrt

Oder wäre hier der "bessere" Ansatz, $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2 + ab+ba +b^2 \end{eqnarray*}$ , draus folgt wegen $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} ab + ba = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Sei nun $\begin{eqnarray*} b = a \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} a^2 + a^2 = 2a^2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Danke Freude

16.07.2024, 22:58

Helferlein

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Nur mal als Denkanstoss: $\begin{eqnarray*} (a+0)^2=a^2+0^2 \end{eqnarray*}$ unabhängig davon, ob $\begin{eqnarray*} 2a=0 \end{eqnarray*}$ .

17.07.2024, 11:22

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Welche Eigenschaften hat denn ein Ring bei dir? Nullteilerfrei? Kommutativ? Mit Eins?

17.07.2024, 11:47

KonverDiv

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Zitat:

Original von URL
Welche Eigenschaften hat denn ein Ring bei dir? Nullteilerfrei? Kommutativ? Mit Eins?

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist unter ' $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ' eine abelsche Gruppe, unter ' $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ' ein Monoid und es gelten für Addition und Multiplikation die Distributivität. $\begin{eqnarray*} 1_R \end{eqnarray*}$ ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Zur Nullteilerfreiheit wird keine Aussage gemacht, dass $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ kommutativ ist, soll durch den Hinweis $\begin{eqnarray*} 1 = -1 \end{eqnarray*}$ später gezeigt werden.

Mich interessiert erstmal, welcher der beiden Wege der "bessere" ist, oder ob einer der Ansätze sogar falsch ist.

17.07.2024, 12:20

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Ich sehe nicht, wie aus $\begin{eqnarray*} 2a^2=0 \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} 2a=0 \end{eqnarray*}$ folgen sollte.
Betrachte stattdessen $\begin{eqnarray*} (a+1_R)^2 \end{eqnarray*}$

17.07.2024, 12:38

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Zitat:

Original von URL
Ich sehe nicht, wie aus $\begin{eqnarray*} 2a^2=0 \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} 2a=0 \end{eqnarray*}$ folgen sollte.

Ich hatte mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert, der Fehler ist hier anzunehmen, es gäbe dieses inverse Element, das war falsch von mir und zeigt mir bereits meinen Fehler im ersten Vorschlag. An dem zweiten Vorschlag sehe ich bisher aber nichts falsches?!

Zitat:

Original von URL
Betrachte stattdessen $\begin{eqnarray*} (a+1_R)^2 \end{eqnarray*}$

Ja, das führt zum Ziel! Freude

17.07.2024, 14:58

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Dein zweiter Vorschlag liefert doch auch nur $\begin{eqnarray*} 2a^2=0 \end{eqnarray*}$
Allerdings ist dein zweiter Vorschlag schon der Schlüssel zur Kommutativität

17.07.2024, 19:25

IfindU

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Übrigens ist die Aussage falsch, wenn der Ring keine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat. Selbst bei Kommutativität, s. $\begin{eqnarray*} \{0,3,6\} \end{eqnarray*}$ mit der $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/9\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Struktur. Denn $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 3 = 3 + 3 = 6 \end{eqnarray*}$ .

17.07.2024, 19:37

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Schönes Gegenbeispiel. Vielen dank smile

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