Zylinderkoordinaten

17.07.2024, 11:00

chained

Zylinderkoordinaten

Hallo

Es geht um einen Körper K, der im IR³ durch Zylinderkoordinaten beschrieben werden kann, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$

Die zu erledigenden Aufgaben sind:

a) K in kartesischen Koordinaten angeben und skizzieren

b) Volumen von K bestimmen

c) Masse und Schwerpunkt bestimmen wobei die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} \delta(r,\varphi,z)=1-\frac{1}{2}z \end{eqnarray*}$ lautet

zu a)

Habe ich den Körper als ein auf dem Kopf stehender Kegel richtig gedeutet (siehe Anhang) ?
Ich hatte es mir so vorgestellt, dass die Gerade z=r bzw. die Dreiecksfläche zwischen z=1 und z=r wegen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ um die z-Achse rotiert, was dann einen Kegel erzeugt.

Bei der Angabe der kartesischen Koordinaten für K bin ich etwas unsicher, wie man das aufschreiben soll.
Ist da sowas gemeint wie, dass es um alle Punkte (x|y|z) in IR³ mit $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$ geht oder wie gibt man sowas an ?

zu b)

Falls meine Vermutung für K stimmt, dann könnte man mit der normalen Kegelvolumenformel leicht ermitteln, dass $\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot \pi \cdot 1=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ gilt.

Beim entsprechenden Dreifachintegral habe ich mich zum einen nach dem genauen Grund gefragt, warum man hier als zu integrierende Funktion im Integral einfach $\begin{eqnarray*} f(r \cdot cos(\varphi),r \cdot sin(\varphi),z)=1 \end{eqnarray*}$ nimmt.

Zum anderen würde ich gerne noch verstehen, warum man mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{r}^{1} \! 1 \cdot r \, dz d\varphi dr \end{eqnarray*}$ und nicht mit $\begin{eqnarray*} \int_{r}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \! 1 \cdot r \, dr d\varphi dz \end{eqnarray*}$ ansetzt.
Ist es schlicht, weil ich ja einen konstanten Wert erhalten möchte, was hier nur möglich ist, wenn das äußere Integral konstante Grenzen hat ?
Bei meiner zweiten Variante würde ja $\begin{eqnarray*} V=(1-r) \cdot \pi \end{eqnarray*}$ rauskommen, wenn ich mich nicht verrechnet habe

Ach ja und ist $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{r}^{1} \! 1 \cdot r \, dz d\varphi dr = \int_0^1r ~ dr \cdot \int_{0}^{2\pi} \int_{r}^{1} \! 1 \, dz d\varphi = \int_0^1r ~ dr \cdot (2 \pi -0) \cdot (1-r)= 2\pi \cdot \int_0^1r \cdot (1-r) ~ dr \end{eqnarray*}$ eine zulässige Schreibweise, weil r ja in den beiden inneren Integralen eh konstant ist ?

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

18.07.2024, 16:48

HAL 9000

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RE: Zylinderkoordinaten

Zitat:

Original von chained
und nicht mit $\begin{eqnarray*} \int_{r}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \! 1 \cdot r \, dr d\varphi dz \end{eqnarray*}$ ansetzt.

Die äußere (!) Integration über $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ darf doch keine Integrationsgrenze haben, die von einer weiter innen liegenden Integrationsvariable (im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ) abhängt - das ergibt in der hierarchischen Staffelung der Integrationen gar keinen Sinn. unglücklich

Zitat:

Original von chained
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{r}^{1} \! 1 \cdot r \, dz d\varphi dr = \int_0^1r ~ dr \cdot \int_{0}^{2\pi} \int_{r}^{1} \! 1 \, dz d\varphi \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist unzulässig, zumindest wenn man die Symbolik rechts so versteht, dass das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -Integral mit den $\begin{eqnarray*} \dd r \end{eqnarray*}$ "abgeschlossen" ist (viele Physiker sind da ja der anderen Meinung, dass die Symbolik es auch hergibt, nach dem $\begin{eqnarray*} \dd r \end{eqnarray*}$ noch Faktoren schreiben zu dürfen, die dann doch noch zum eigentlichen Integranden gehören):

Es reicht nicht aus, dass der Integrand so aufgeteilt werden kann, dass Faktor $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ins linke Teilintegral verlagert wird - es muss außerdem gesichert sein, dass auch die Integrationsgrenzen der beiden anderen Integrationen nicht von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abhängen - was bei der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Integration nicht der Fall ist. unglücklich

18.07.2024, 18:53

chained

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Zitat:

Die äußere (!) Integration über z darf doch keine Integrationsgrenze haben, die von einer weiter innen liegenden Integrationsvariable (im vorliegenden Fall r) abhängt

Das klingt plausibel und werde ich mir so merken. Freude

Zitat:

...viele Physiker sind da ja der anderen Meinung, dass die Symbolik es auch hergibt, nach dem dr noch Faktoren schreiben zu dürfen, die dann doch noch zum eigentlichen Integranden gehören

Ich hatte genau diesen fixen Gedanken gehabt.
Aus den von dir genannten Gründen scheint mir das aber eher etwas schwammig und nicht zu Ende gedacht zu sein.
Von daher gehe ich lieber auf Nummer sicher und mache es brav ohne Rumgeschiebe. Big Laugh

Wenn ich noch kurz ein paar Sachen fragen darf :

1. Sind meine Gedanken zu a) in Ordnung ?

2. Nimmt man für b) deshalb $\begin{eqnarray*} f(r \cdot cos(\varphi),r \cdot sin(\varphi),z)=1 \end{eqnarray*}$ weil ansonsten keine Funktion in der Aufgabe gegeben ist ? Ist vermutlich banal, aber ich komme derzeit nicht auf den genauen Grund dafür, warum man mit einer konstanten Funktion ansetzt. Ich habe es eher geraten, weil keine Funktion dort stand. verwirrt

3. Bestimmt man die in c) geforderte Masse einfach durch Integration der gegebenen Dichtefunktion mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{r}^{1} \! (1-\frac{1}{2}z) \cdot r \, dz d\varphi dr \end{eqnarray*}$ ?

25.07.2024, 10:23

chained

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Mag vielleicht jemand noch etwas zu meinen 3 kurzen Nachfragen im letzten Beitrag schreiben ? smile

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