Frage bezüglich Grenzwerten

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17.07.2024, 18:30	Torskfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage bezüglich Grenzwerten Meine Frage: Guten Abend. Ich frische gerade wieder etwas meine mathematischen Kenntnisse auf (die letzte Mathevorlesung, die ich besuchte, liegt schon einige Jahre zurück; es handelte sich dabei auch nur um Mathematik für Ingenieure, also sehr anwendungsbezogen). Nun zu meiner Frage: angenommen, wir haben die Funktion f(x)=x² und man möchte an der Stelle x0 den links- und rechtsseitigen Grenzwert bilden. Im Falle von x0=2 strebt die Funktion sowohl links- als auch rechtsseitig gegen 2. Soweit so gut. Nun habe ich aber folgendes Problem. In meinem Lehrbuch, welches ich noch besitze, steht sinngemäß (ich möchte aus Gründen des Urheberrechts nicht wörtlich zitieren), dass sich x der Stelle x0 bei einem Grenzwertübergang von x->x0 belieg annähert, diese allerdings nicht erreicht. Wenn ich nun allerdings auf weitere Themenbereiche der Analysis, wie zb die Differentialrechnung schaue, dann wird die Differenzierbarkeit einer Funktion mittels entsprechender Grenzwertübergänge definiert. Heißt dies nun im Umkehrschluss, dass zb die erste Ableitung von f(x)=x² an der Stelle x=1 gar nicht exakt 2 ist, sondern der Grenzwert in Wahrheit der 2 nur Beliebig nahe kommt? Also egal, wie unendlich klein die Abweichung auch sein mag, aber nie die exakte Zahl 2 herauskommt? Meine Ideen: Ich bin für alle Hilfen dankbar! Vermutlich habe ich nur einen kleinen Denkfehler...
17.07.2024, 18:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gab vor nicht allzu langer Zeit hier in diesem Board eine diesbezügliche Diskussion genau über diese Thematik .... Ich weiß nur im Moment nicht, welcher Thread dies genau war. mY+
17.07.2024, 19:08	Torskfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, falls hier jemand etwas dazu verlinken könnte, wäre das klasse. Ansonsten bin ich für Hilfe dankbar.
17.07.2024, 19:09	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bittesehr: Aufsummieren von Einzelwahrscheinlichkeiten Und auch hier: Flächeninhalt Integralrechnung Viele Grüße Steffen
18.07.2024, 07:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Prozessen, die gegen einen Grenzwert streben, geht es nicht darum, dass eine beliebig kleine positive Differenz übrig bleibt. Ganz im Gegenteil geht es darum, dass jede beliebig kleine positive Differenz unterschritten wird, denn daraus folgt, dass die Differenz 0 ist.
18.07.2024, 14:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit den infinitesimal kleinen Abständen, die aber nicht Null werden, ist ein heuristisches Denkhilfsmittel für den Grenzprozess, nicht mehr und nicht weniger, Der Grenzwert selbst, so er denn existiert, ist eine reelle Zahl, in deinem Beispiel $\begin{eqnarray} f'(1) = 2 \end{eqnarray}$ , und das exakt, d.h. nichts nebulöses wie "der 2 beliebig nahe kommend, aber nie erreichend".
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18.07.2024, 15:55	Torskfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie bekomme ich eine Differenz, die genau Null beträgt? Angenommen, die Funktion lautet f(x)=1/x Wenn ich nun den Grenzprozess x-> unendlich betrachte, konvergiert dies gegen 0. Aber egal wie unendlich groß x werden mag, 1/x kann nie exakt 0 werden. Dazu müsste ja die 1 aus dem Zähler zur 0 werden. Das ist mein Gedanke dazu, und wahrscheinlich liegt hier auch der Fehler. Wie erhalte ich denn trotzdem eine Differenz von 0?
18.07.2024, 16:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder einigermaßen vernünftige Ingenieur muss zugeben, dass ein winziger Bruchteil der Plancklänge $\begin{eqnarray} 1,6\cdot10^{-35} \end{eqnarray}$ m, zum Beispiel $\begin{eqnarray} \frac {1,6\cdot10^{-35}}{10^{10^{100}}} \end{eqnarray}$ m nicht von 0 zu unterscheiden ist. Wem das noch nicht reicht, kann ein beliebig kleines $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ nehmen, das um beliebig viele Größenordnungen kleiner ist. Ein Baumeister hat mal zu mir gesagt : "Auf dem Bau kommt es auf einen Zentimeter nicht an." Mathematiker sind noch pragmatischer und sagen : "Der Grenzwert ist gleich 0." Daran ist nichts ungefähr, denn 0 ist exakt gleich 0.
18.07.2024, 16:50	Torskfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich kommt es im gewöhnlichen Maschinenbau nicht auf eine derartig hohe Präzision an. Das will ich auch gar nicht thematisieren. Mir geht es eher hier drum: "Mathematiker sind noch pragmatischer und sagen : "Der Grenzwert ist gleich 0." Daran ist nichts ungefähr, denn 0 ist exakt gleich 0." Hier hätte ich doch streng genommen eine Differenz. Unter 0 stelle ich mir gar nichts vor, also eine leere Menge. 1/x wird aber nie Null, egal wie riesig x wird, also in dem Falle, dass es gegen unendlich strebt. Somit besteht immer eine Differenz (und ich denke, hier liegt mein gedanklichen Fehler).
18.07.2024, 17:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein erster Fehler ist, dass du dir einen Prozess oder Weg vorstellst. Dein zweiter Fehler ist, dass du unterwegs stehen bleibst. Wenn du bis zum unendlich fernen Punkt weitergehst, ist die Differenz 0. Der Grenzwert wird durch den Grenzübergang erreicht. Es gibt in der Mathematik keinen Grund, auf der reellen Geraden stehen zu bleiben oder zu streben. Wenn du schon gehst, dann musst du bis zum Ende gehen. Ganz rechts, am Ende der reellen Gerade, ist der Punkt $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} \frac 1 {\infty}=0 \end{eqnarray}$ .
18.07.2024, 19:16	Torskfan	Auf diesen Beitrag antworten »
"Dein erster Fehler ist, dass du dir einen Prozess oder Weg vorstellst. Dein zweiter Fehler ist, dass du unterwegs stehen bleibst. Wenn du bis zum unendlich fernen Punkt weitergehst, ist die Differenz 0." Ich weiß leider nicht, wie ich mir sonst so etwas vorstellen kann. Da unendlich ja keine Zahl ist, mit der man rechnen kann, habe ich es immer als Prozess betrachtet. Aber es stimmt: egal wie weit ich nach rechts bei den Nachkommastellen voranschreite, ich werde immer eine 0 vorfinden. An die anderen Ziffern verschieden von Null wird man nie stoßen, da x gegen unendlich geht.
18.07.2024, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rechne nicht mit unendlich, ich definiere $\begin{eqnarray} \frac r {\infty}=0 \end{eqnarray}$ für alle reellen Zahlen r. Prozesse und Wege kann man sich zeitabhängig vorstellen, das bringt nichts und ist reine Zeitverschwendung. Mach's wie Karl Weierstraß (1815-1897), der wußte damals am besten, wie man Grenzwerte jeder Art für Folgen, Reihen , Funktionen, Ableitungen und Integrale berechnet. Stichwort "Epsilontik" z. B. bei Wikipedia. Alles andere ist Kaffeesatzleserei.
21.07.2024, 22:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine gute Illustration zu diesem Thema ist das Paradoxon* des Zenon v. Elea: Achilles und die Schildkröte. --> Achilles verfolgt eine Schildkröte, die 10 Stadion von ihm entfernt ist (Stadion = altes griechisches Längenmaß). Achilles ist 10x so schnell wie die Schildkröte, wenn also Achilles die 10 Stadion durchlaufen hat, ist die Schildkröte 1 Stadion vor ihm. Hat Achilles dieses 1 Stadion durchlaufen, ist die Schildkröte 1/10 Stadion vor ihm. Wenn Achilles auch diese Strecke durchlaufen hat, ist die Schildkröte immer noch vor ihm, auch wenn der Abstand immer kleiner wird. Gleichgültig nun, welche Strecke Achilles noch zurücklegt, die Schildkröte wird immer noch ein kleines Stück vor ihm sein. Also wird Achilles die Schildkröte nie erreichen, denn dieser Abstand kann - lt. Schluss von Torskfan - niemals Null werden . (*) Paradoxon = spitzfindiger Trugschluss mY+
22.07.2024, 05:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \pi \alpha \rho \grave \alpha \ \delta \acute o \xi \alpha \nu \end{align}$ wörtlich: wider die Erwartung, wider den Anschein
22.07.2024, 06:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle klassischen Paradoxa sind gute Beispiele für den Trugschluss, den Torskfan mit seiner Frage wieder aus der Mottenkiste hervorgeholt hat. Obwohl Weierstraß und tausend andere damit gründlich aufgeräumt haben, halten sich die offensichtlichen Irrtümer in den Köpfen der Menschen und werden immer wieder vorgetragen. Es ist vermutlich leichter, unverstandenen Unsinn zu verbreiten, als die Wahrheit zu verstehen und zu lehren. Ich bezeichne es als metaparadox, dass die Paradoxa überlebt haben, obwohl Zenon und seine Mitdenker damit nur auf die Unvernunft der Menschen hingewiesen haben - möglicherweise sogar absichtlich (siehe Harro Heuser "Unendlichkeiten: Nachrichten aus dem Grand Canyon des Geistes"). Nachtrag zur Eingangsfrage: Die Tangente an die Normalparabel im Punkt (1,1) hat die Steigung 2. Das ist die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) =x^2 \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} f'(x) =2x \end{eqnarray}$ . Das ist eine Tatsache, und es ist vollkommen egal, wie man dahin kommt. Wenn falsche Gedanken zu einem anderen oder zu keinem Ergebnis führen, sind die falschen Gedanken falsch und nicht die Tatsache. Offenbar tritt Achilles nach endlicher Zeit und nach einem endlichen Weg auf die Schildkröte oder überholt sie. Diese Tatsache kann kein falsches Denken aus der Welt schaffen, denn die Welt besteht aus Tatsachen und nicht daraus, was man über die Tatsachen denkt.

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