Umkehrabbildung und g = f^{-1} zeigen

18.07.2024, 08:34

KonverDiv

Umkehrabbildung und g = f^{-1} zeigen

Hallo

,

Es ist $\begin{eqnarray*} f : D\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist die identische Abbildung auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(D) \subset E \end{eqnarray*}$ , außerdem $\begin{eqnarray*} g : E \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ ist die identische Abbildung auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(E) \subset D \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ umkehrbar ist und $\begin{eqnarray*} f^{-1} = g \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz. Ich würde zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv und surjektiv ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nämlich bijektiv und es gibt eine Umkehrabbildung.

Injektiv: Angenommen $\begin{eqnarray*} f(d) = f(d') \end{eqnarray*}$ wir zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} d = d' \end{eqnarray*}$ gilt. Ich nutze aus, dass $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(d) = g(f(d)) = d \end{eqnarray*}$ ist. Mit $\begin{eqnarray*} g(f(d)) = g(f(d')) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} d = d' \end{eqnarray*}$ , womit die Injektivität gezeigt ist.

Surjektiv: Angenommen $\begin{eqnarray*} e \in E \end{eqnarray*}$ , wir suchen ein Element $\begin{eqnarray*} d \in D \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(d) = e \end{eqnarray*}$ gilt. Nehmen wir $\begin{eqnarray*} d = g(e) \end{eqnarray*}$ und beachten $\begin{eqnarray*} g(e) \in D \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} g(E) \subset D \end{eqnarray*}$ , dann erfüllt dieses Element den Zweck, denn $\begin{eqnarray*} f(g(e)) = e \end{eqnarray*}$ . Das heißt $\begin{eqnarray*} \forall e \in E \, \exists d \in D \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(d) = e \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv und surjektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv, damit gibt es eine Umkehrabbildung.

Mein Ansatz für $\begin{eqnarray*} f^{-1} = g \end{eqnarray*}$ . Definition der Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(e)) = e \,\forall e \in E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(d)) = d \, \forall d \in D \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} e \in E \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} f(g(e)) = e \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} g(e) \end{eqnarray*}$ ist das eindeutige Element in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , dass auf $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ abbildet unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} g(e) := f^{-1}(e) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} d \in D \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g(f(d)) = d \end{eqnarray*}$ , dies zeigt, dass $\begin{eqnarray*} d = f^{-1}(f(d)) \end{eqnarray*}$ .

Geht das so? verwirrt

18.07.2024, 14:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
Also $\begin{eqnarray*} g(e) := f^{-1}(e) \end{eqnarray*}$ .

Im Definitionssinne eher anders herum, d.h., $\begin{eqnarray*} f^{-1}(e):=g(e) \end{eqnarray*}$ , denn die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist bei dir ja die gegebene, die muss nicht neu definiert werden. Augenzwinkern

Soweit ich das sehe, ist ansonsten alles in Ordnung.

Man kann übrigens die Behauptung kürzer und zugleich allgemeiner (d.h. nicht an $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gebunden) formulieren:

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} f : D\rightarrow E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ die identische Abbildung auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , außerdem $\begin{eqnarray*} g : E \rightarrow D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ die identische Abbildung auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ umkehrbar, und es gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1} = g \end{eqnarray*}$ .

19.07.2024, 07:19

KonverDiv

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Hallo @HAL 9000, danke für deine Antwort und die Anmerkungen!

Zitat:

Original von HAL 9000

Man kann übrigens die Behauptung kürzer und zugleich allgemeiner (d.h. nicht an $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gebunden) formulieren:

Zitat:

Hab ich mir fast gedacht, ich war mir aber unsicher, ob man $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hier so ersetzen kann.

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