Basiswechsel und Transformationsmatrix

19.07.2024, 08:18

MMchen60

Basiswechsel und Transformationsmatrix

Liebe Forumsgemeinde, es geht um die Aufgabe gemäß Anhang. Aufgabenteil a) ist klar, der Basisraum P steht (Anlage). Es geht mir jetzt um b) Mir ist nicht klar, was die Matrix D sein soll. Im Netz habe ich gefunden, dass $\begin{eqnarray*} P^{-1} \cdot A \cdot P=D \end{eqnarray*}$ sein soll, kann aber nicht sein, weil da nicht D herauskommt. Oder soll D der Basisraum der anderen Basis sein? Wie lautet dann die Formel, um Gauß-Jordan zu umgehen?
Sind meine Antworten zu Aufgabenteil c) richtig, teilrichtig oder völlig daneben? Wie müsste es dann richtig heißen?
Vielen Dank für Antwort

19.07.2024, 09:22

flaschenpost

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Zitat:

kann aber nicht sein, weil da nicht D herauskommt.

Doch, es kommt die in b) erwähnte Diagonalmatrix D raus wenn man $\begin{eqnarray*} P^{-1} \cdot A \cdot P \end{eqnarray*}$ ausrechnet.
Vielleicht hast du dich verrechnet oder deine inverse Matrix zu P ist nicht korrekt.
Mit det(P)=1 kann man auch ohne Gauss direkt $\begin{eqnarray*} P^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ angeben (siehe Formel für die Inverse von 2x2 Matrizen).

Bei c) würde ich im reellen Fall noch klar hinschreiben in welchen Intervallen es für den jeweiligen Eigenwert denn zu einer Streckung bzw. Stauchung des jeweiligen Eigenvektors kommt.
Im Komplexen Fall kannst du dir ja mal ein paar Beispiele anschauen und es dir in der Gaußschen Zahlenebene (reelle und imaginäre Koordinatenachse) klarmachen.

19.07.2024, 10:31

MMchen60

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Zitat:

Original von flaschenpost
Doch, es kommt die in b) erwähnte Diagonalmatrix D raus wenn man $\begin{eqnarray*} P^{-1} \cdot A \cdot P \end{eqnarray*}$ ausrechnet.

OK, danke, habe nachgerechnet, ja, es kommt D raus. Ist nun aber D diese Transformationsmatrix?

Zitat:

Original von flaschenpost
Bei c) würde ich im reellen Fall noch klar hinschreiben in welchen Intervallen es für den jeweiligen Eigenwert denn zu einer Streckung bzw. Stauchung des jeweiligen Eigenvektors kommt.
Im Komplexen Fall kannst du dir ja mal ein paar Beispiele anschauen und es dir in der Gaußschen Zahlenebene (reelle und imaginäre Koordinatenachse) klarmachen.

OK, das mit den Intervallen ist klar, 0<k<1 ist Stauchung, 1<k ist Streckung.
Bezügl. komplexer Bereich müsste m.E. noch ergänzt werden, dass $\begin{eqnarray*} \frac {b}{a}=\frac {b'}{a'} \end{eqnarray*}$ sein muss, sonst zeigt die komplexe Zahl plötzlich in eine andere Richtung.
Aber wie ist es dann mit "-" Vorzeichen?
VG MMchen

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