Wohldefiniertheit von f([a]) = [|a|]

22.07.2024, 09:27

KonverDiv

Wohldefiniertheit von f([a]) = [|a|]

Hallo

,

angenommen es ist $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\left[a\right]) = \left[|a| \right] \end{eqnarray*}$ , für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist die Funktion wohldefiniert?

Meine Idee: Sei $\begin{eqnarray*} \left[a\right] = \left[b\right] \end{eqnarray*}$ wir zeigen $\begin{eqnarray*} f(\left[a\right]) = f(\left[b\right]) \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} \left[a\right] = \left[b\right] \end{eqnarray*}$ äquivalent zu der Aussage $\begin{eqnarray*} a = b +kn \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(\left[a\right]) = \left[|a|\right] = \left[|b+kn|\right] = \left[b\right] = f(\left[b\right]) \end{eqnarray*}$ . Das heißt in diesem Fall ist die Funktion wohldefiniert.

Betrachten wir nun $\begin{eqnarray*} a < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(\left[a\right]) = \left[|a|\right] = \left[-(a)\right] = \left[-(b+kn)\right] = \left[-b-kn\right] = \left[-b\right] \neq f(\left[b\right]) \end{eqnarray*}$ .

Beispiel: $\begin{eqnarray*} -1 \equiv 3 \pmod{4} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left[-1 \right] = \left[3 \right] \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f(\left[-1 \right]) = \left[|-1| \right] = \left[1 \right] \neq \left[3 \right] = \left[|3| \right] = f(\left[3 \right]) \end{eqnarray*}$ .

Ich würde daher sagen, dass für $\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht wohldefiniert ist, wie die Fallbetrachtungen und das Beispiel zeigen. Aber für $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion trivialer Weise wohldefiniert.

Kann ich das so sagen? verwirrt

22.07.2024, 10:13

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Notation $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n) \end{eqnarray*}$ ) ist nicht gut.
Schau dir den Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ nochmal an.
Für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ liegt mit $\begin{eqnarray*} [-1]=[n-1] \end{eqnarray*}$ ein konkretes Gegenbeispiel für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vor, das "ohne a's und b's" auskommt.

22.07.2024, 10:48

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @jester, danke für die Hinweise. Freude

1. Ist die Definition/Schreibweise des Buches Augenzwinkern

2. Ja, stimmt es ist $\begin{eqnarray*} f([-1]) = [|-1|] = [1] = [1] = [|1|] = f([1]) \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} [-1] = [1] \end{eqnarray*}$ . Also gilt das für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ auch.

3. Ja, $\begin{eqnarray*} [-1] = [n-1] \end{eqnarray*}$ ist ein schönes Gegenbeispiel.

Aber nochmal einen Schritt zurück, mit meinen a,b's habe ich doch eigentlich gezeigt, dass die Funktion allgemein nicht wohldefiniert sein kann, oder? Mich interessiert hier, ob ich die "Mechanik" des Beweises so richtig gemacht habe.

22.07.2024, 11:43

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wohldefiniertheit von f([a]) = [|a|]
Die richtige - und sich aufdrängende - Idee steckt da natürlich drin. Aber handwerklich ist das ganze halt nicht so schön:

Zitat:

Original von KonverDiv
Meine Idee: Sei $\begin{eqnarray*} \left[a\right] = \left[b\right] \end{eqnarray*}$ wir zeigen $\begin{eqnarray*} f(\left[a\right]) = f(\left[b\right]) \end{eqnarray*}$

Das zeigst du nicht; es geht ja auch gar nicht, wenn nicht gerade $\begin{eqnarray*} n\in\{1,2\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

[...]Das heißt in diesem Fall ist die Funktion wohldefiniert.

Da wählst du ja bestimmte Vertreter, und zeigst dann, dass das herauskommt, was du erwartest. Du musst doch aber eigentlich zeigen, dass dies vom Vertreter unabhängig passiert.
Oder anders gesagt: Die Funktionsvorschrift ist entweder wohldefiniert, oder sie ist es nicht. "In einigen Fällen" wohldefiniert funktioniert nicht.

Du benutzt also zumindest ungewöhnliche Ausdrucksweisen...

Zitat:

Aber nochmal einen Schritt zurück, mit meinen a,b's habe ich doch eigentlich gezeigt, dass die Funktion allgemein nicht wohldefiniert sein kann, oder? Mich interessiert hier, ob ich die "Mechanik" des Beweises so richtig gemacht habe.

Grundsätzlich sollte man - finde ich - den Beweis nicht so aufziehen, wie du es getan hast, auch wenn es korrekt ist. Warum? Dein Beweisansatz, den man ganz gut benutzen kann um sich selbst zu überlegen woran die Wohldefiniertheit hapert, ist komplizierter und schwieriger nachzuvollziehen als ein schlichtes Gegenbeispiel. Zudem lebt die Mathematik ja immer ein bisschen von Eleganz, und auch da hat das Gegenbeispiel die Nase vorn.

Man muss nicht zeigen, dass etwas "allgemein" nicht funktioniert oder "allgemein" nicht wohldefiniert ist. "Nicht funktionieren" reicht schon aus.
Das ist irgendwo ja auch Teil der mathematischen Ausbildung - dass man nicht nur "technisch" korrekte Beweise abliefert, sondern auch solche, die dem Jargon und den Gepflogenheiten des Fachgebiets folgen. :-)

Neue Frage »

Antworten »

Wohldefiniertheit von f([a]) = [|a|]

Verwandte Themen