Taylorreihe

22.07.2024, 11:59	muskelkater	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe Guten Tag Es geht um die Taylorreihe der Sinusfunktion mit der Entwicklung um $\begin{eqnarray} x_0=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ . Die ersten 3 Ableitungen sind f'(x)=cos(x) und f ''(x)=-sin(x) und f'''(x)=-cos(x) und dann geht es wieder von vorne los (4er-Zyklus). Es gilt $\begin{eqnarray} sin(\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ und damit entsteht immer abwechselnd zweimal $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ und zweimal $\begin{eqnarray} -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ . Das Problem ist nun wie man zweimal dasselbe Vorzeichen nacheinander formal in den Griff bekommt. Meine Idee wäre es mit einer Rundungsklammer zu arbeiten, nämlich mit $\begin{eqnarray} (-1)^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor} \end{eqnarray}$ . Dadurch käme ich dann auf die Taylorreihe $\begin{eqnarray} sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}}{\sqrt{2} \cdot n!} \cdot (x-\frac{\pi}{4})^n \end{eqnarray}$ . Das erfüllt offenbar seinen Zweck. Ich frage mich nur, ob man es auch irgendwie anders ohne Rundungsklammer schreiben könnte. Alternativ hatte ich noch an das Nutzen der bekannten Sinus- und Kosinusdarstellung für $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ gedacht. Dazu würde ich zunächst erstmal an $\begin{eqnarray} x_0=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ anpassen und ein Additionstheorem nutzen: $\begin{eqnarray} sin(x)=sin(x-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4})=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{4})cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (sin(x-\frac{\pi}{4})+cos(x-\frac{\pi}{4})) \end{eqnarray}$ aber einen Mehrwert sehe ich da eher nicht oder kann man das irgendwie noch weiter sinnvoll nutzen ? Sind meine Ausführungen überhaupt richtig und wie würdet ihr vorgehen ?
22.07.2024, 17:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nach benachbarten Gliedern aus einem geraden und dem folgenden ungeraden Index gruppierst, kannst du auf die Gaußklammer verzichten. Das legt dein zweiter Zugang unmittelbar nahe: $\begin{align} \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{\left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n}}{(2n)!} + \frac{\left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1}}{(2n+1)!} \right) \end{align}$ Das gibt, nach aufsteigenden Exponenten von $\begin{align} x - \frac{\pi}{4} \end{align}$ geordnet, das Vorzeichenmuster $\begin{align} ++--++--\ldots \end{align}$
23.07.2024, 09:39	muskelkater	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Nennt man das denn dann auch noch Taylorreihe ? Ich frage nur weil in der Formel bzw. Definition $\begin{eqnarray} T_f(x,x_o):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ ja nur 1 Mal der Faktor $\begin{eqnarray} (x-x_0)^n \end{eqnarray}$ vorkommt.
23.07.2024, 19:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage kann man klar und eindeutig beantworten: Jein. $\begin{align} \left( \ldots \left( \left( \left( \left( \left( a_0 + a_1 \right) + a_2 \right) + a_3 \right) +a_4 \right) + a_5 \right) + \ldots \right. = \left( \ldots \left( \left( \left( a_0 + a_1 \right) + \left( a_2 + a_3 \right) \right) + \left( a_4 + a_5 \right) \right) + \ldots \right. \end{align}$ In absolut konvergenten Reihen, also auch in Potenzreihen, darf man beliebig klammern. Jede korrekte Klammerung führt zum selben Ergebnis. In einem streng formalen Sinn ist die Sortierung nach Paaren (gerader Index, nächster ungerader Index) keine Taylorreihe mehr. Ich würde aber einen liberalen Standpunkt einnehmen: die Sache ist von der Notation her einfacher, und jeder gutwillige Mathematiker weiß, wie er das lesen muß, wenn er sich die Paare entkoppelt vorstellt. Dann wäre es doch wieder eine Taylorreihe. Ein bekanntes simples Beispiel, daß man nicht einfach so drauflos rechnen kann, ist $\begin{align} 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +- \ldots = (1-1) + (1-1) + (1-1) + \ldots \ \ \text{???} \end{align}$ Insofern machst du durchaus einen Punkt, wenn dir hier erst mal Bedenken kommen.

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