Alle endlichen und nicht-leeren Teilmengen von Z

23.07.2024, 09:37

KonverDiv

Alle endlichen und nicht-leeren Teilmengen von Z

Hallo

,

wie lauten alle endlichen und nicht-leeren Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , die abgeschlossen bezüglich der Addition sind?

Bisher ist mir nur die triviale Menge also $\begin{eqnarray*} \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ eingefallen, denn $\begin{eqnarray*} 0 + 0 = 0 \in \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich an andere Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ denke, etwa $\begin{eqnarray*} 2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , dann sind diese zwar abgeschlossen aber nicht endlich. Kennt Ihr andere Beispiele? verwirrt

23.07.2024, 10:05

IfindU

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Überlege dir warum es keine andere geben kann Augenzwinkern

23.07.2024, 10:21

KonverDiv

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Zitat:

Original von IfindU
Überlege dir warum es keine andere geben kann Augenzwinkern

Meine Vermutung wäre, weil mindestens eine Bedingung verletzt ist, entweder ist es endlich aber nicht abgeschlossen oder unendlich und abgeschlossen. Nur $\begin{eqnarray*} \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ erfüllt beides gleichzeitig. Außerdem enthält eine endliche Menge ein anderes Element a > 0, dann ist durch die Addition a + a immer wieder ein Element vorhanden, dass nicht in dieser endlichen Menge ist, in der a zuvor war.

23.07.2024, 11:34

IfindU

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Zitat:

Original von KonverDiv
Außerdem enthält eine endliche Menge ein anderes Element a > 0, dann ist durch die Addition a + a immer wieder ein Element vorhanden, dass nicht in dieser endlichen Menge ist, in der a zuvor war.

Jetzt musst du das nur noch etwas sauberer argumentieren:
Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ additiv -abgeschlossen, nicht-leer und nicht $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ . Dann existiert $\begin{eqnarray*} 0 \neq m \in M \end{eqnarray*}$ .... Und damit ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht endlich.

23.07.2024, 13:47

KonverDiv

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Für die " $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$ " würde ich dann vorschlagen, angenommen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sei endlich ( $\begin{eqnarray*} 0 \neq m \in M \end{eqnarray*}$ zur Erinnerung), dann ist aber $\begin{eqnarray*} m + m \in M \end{eqnarray*}$ wegen der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2m \in M \end{eqnarray*}$ , daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht endlich sein kann, denn $\begin{eqnarray*} am \in M \forall a \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

23.07.2024, 13:50

IfindU

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Genau. Für $\begin{eqnarray*} m = 0 \end{eqnarray*}$ führt das nicht zu einem Gegenbeispiel. Du brauchst, dass $\begin{eqnarray*} am = bm \implies a =b \end{eqnarray*}$ . Damit sind alle $\begin{eqnarray*} m, 2m, 3m, \ldots \end{eqnarray*}$ verschieden und du hast es ganz sauber.

23.07.2024, 13:53

KonverDiv

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Danke! Das war eine tolle Unterstützung von dir! Freude

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