Lipschitz-Stetigkeit

23.07.2024, 16:22	Gast-Physikstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetigkeit $\begin{eqnarray} f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = x^{\alpha} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha > 0 \end{eqnarray}$ . Gesucht ist, ob und für welche $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ diese Funktion lokal Lipschitz-Stetig ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (0, \infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [0, \infty) \end{eqnarray}$ Ich sehe den Unterschied nicht, ob wir das offene oder geschlossene Intervall betrachten. In beiden Fällen gilt meiner Meinung nach laut Mittelwertsatz: Es gibt einen Punkt $\begin{eqnarray} \epsilon \in (a,b) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|f(b) - f(a)\| = \|f'(\epsilon)\| \|b-a\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(\epsilon) = \alpha \epsilon^{\alpha - 1} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \alpha \geq 1 \end{eqnarray}$ ist dies immer beschränkt auf jedem Intervall $\begin{eqnarray} (a, b) \subset [0, \infty) \end{eqnarray}$ Wenn ich L als Maximum in diesen Intervallen festlege, kriege ich also immer $\begin{eqnarray} \|f(b) - f(a)\| \leq L \|b-a\| \end{eqnarray}$ Sollte $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ aber kleiner 1 und positiv sein, kriege ich für die Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(\epsilon) = \alpha \frac{1}{\epsilon^{1-\alpha}} \end{eqnarray}$ Für beliebig kleine $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ wird die Ableitung dann beliebig groß, sodass es keine Konstante L mehr geben kann, welche die Ungleichung erfüllt. Das gilt aber sowohl für das Intervall mit als auch OHNE die 0, da eben auch "nahezu 0" bzw. der Grenzwert den Term unendlich groß werden lässt, ohne dass $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ tatsächlich 0 sein muss. Ist das so richtig oder habe ich etwas nicht verstanden?
23.07.2024, 17:47	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sofern $\begin{eqnarray} a\in(0,\infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon>a \end{eqnarray}$ ist, kann $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ nicht beliebig klein werden. Für $\begin{eqnarray} \alpha<1 \end{eqnarray}$ bekommt man $\begin{eqnarray} L:=\sup_{\epsilon\in(a,b)}\frac{\alpha}{\epsilon^{1-\alpha}} = \frac{a}{\epsilon^{1-a}}. \end{eqnarray}$ Statt $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ würde ich daher eher $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ schreiben.

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