Flächenparametrisierung

25.07.2024, 10:55

ventilator

Flächenparametrisierung

Hallo zusammen,

es geht um die Parametrisierung einer Fläche T, welche durch $\begin{eqnarray*} f(u,v)=\begin{pmatrix} (4+cos(u)) \cdot cos(v) \\ (4+cos(u)) \cdot sin(v) \\ sin(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beschrieben wird
und für die $\begin{eqnarray*} f : ( 0 , 2 \pi) \times ( 0, 2 \pi) \to \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ gilt.

Bevor man den Oberflächeninhalt von T ausrechnet, soll man die durch f(u,v) gegebene Fläche zunächst beschreiben und skizzieren.

Wie könnte man da vorgehen ?

Die ersten beiden Zeilen im Vektor erinneren ja mit r=4+cos(u) an Polarkoordinaten, wobei der Kreisradius r wegen u aus $\begin{eqnarray*} ( 0, 2\pi) \end{eqnarray*}$ zwischen 3 und 5 liegen würde.
Die Höhe z=sin(u) in der dritten Vektorzeile liegt zwischen -1 und 1.

Geht es damit dann um die Fläche eines Hohlzylinders mit Höhe 2 oder ist das komplett daneben interpretiert ?

25.07.2024, 11:21

Leopold

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Torus

25.07.2024, 12:57

ventilator

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Vielen Dank Leopold. smile

Kannst du mir vielleicht auch näher bringen wie man bei diesem Beispiel und auch generell dabei vorgehen könnte, wenn man sich den Körper bzw. die Fläche bei einer gegebenen Parametrisierung anschaulich machen möchte ?

Sind meine erwähnten Gedanken (Polarkoordinaten) komplett unbrauchbar oder habe ich es nur nicht zu Ende gedacht ?

26.07.2024, 08:09

Leopold

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Mir erscheint es einfacher, die Parameterdarstellung des Torus herzuleiten als aus einer Parameterdarstellung den Torus herauszulesen.

Stellen wir uns also einen Kreis in der $\begin{align*} xz \end{align*}$ -Ebene vom Radius 1 mit Mittelpunkt $\begin{align*} \left( 4,0,0 \right) \end{align*}$ vor. Er kann folgendermaßen parametrisiert werden:

$\begin{align*} x = 4 + \cos(u) \, , \ y = 0 \, , \ z = \sin(u) \, ; \ \ 0 \leq u \leq 2 \pi \end{align*}$

Nun lassen wir diesen Kreis um die z-Achse rotieren. Dabei ändert sich die z-Koordinate eines Kreispunkts nicht: $\begin{align*} z = \sin(u) \end{align*}$ , dagegen bestimmen die x- und y-Koordinaten einen Kreis parallel zur xy-Ebene vom Radius $\begin{align*} 4 + \cos(u) \end{align*}$ :

$\begin{align*} x = \left( 4 + \cos(u) \right) \cdot \cos(v) \, , \ y = \left( 4 + \cos(u) \right) \cdot \sin(v) \, , \ z = \sin(u) \, ; \ \ 0 \leq u,v \leq 2 \pi \end{align*}$

So versteht man, warum der Torus diese Parameterdarstellung besitzt. Umgekehrt die Parameterdarstellung als die eines Torus zu erkennen, dazu gehört Erfahrung. Du wirst dich vielleicht nicht mehr erinnern. Aber als du zum ersten Mal in der Schule den Graphen von $\begin{align*} y = x^2 \end{align*}$ gezeichnet hast, wußtest du auch nicht, was dich erwartet. Inzwischen hast du aber so oft damit zu tun gehabt, daß die Funktionsgleichung $\begin{align*} y = x^2 \end{align*}$ und die geometrische Form der Parabel in deinem Gehirn zu einer Einheit verschmolzen sind. Ähnlich wäre es mit dem Torus, wenn du dich damit eine Zeitlang beschäftigen würdest. Ein allgemeines Rezept, wie man aus einer algebraischen Darstellung die geometrische Form eines Körpers erkennt, wüßte ich nicht. Ich glaube auch nicht, daß es eines gibt. Und ganz ehrlich: Ich habe den Körper deiner Parameterdarstellung zuerst von einem CAS zeichnen lassen. Dann war es mir klar: Mensch, das hättest du gleich sehen können, daß das ein Torus ist!

Und deine Gedanken mit der Parameterdarstellung eines Kreises sind ganz richtig; siehe oben die Herleitung. Und der Torus ist ja auch etwas mit viel außen rum und einem Loch drin. Na ja, "Hohlzylinder" paßt letztlich nicht, ist aber auch nicht vollkommen daneben.

Und jetzt freue ich mich auf meinen Bagel zum Frühstück nachher.

27.07.2024, 12:33

Ulrich Ruhnau

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Um etwas zu lernen, empfehle ich den Link über Oberflächenintegrale. Da mußt du das Integral über die skalare Funktion aussuchen. Die Funktion muß in unserem Fall nur gleich 1 gesetzt werden.

Es ist also das Oberflächenelement $\begin{eqnarray*} \dd\sigma \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, indem man x,y,z nach u und v ableitet, das Kreuzprodukt berechnet und den Betrag nimmt.

$\begin{eqnarray*} \dd\sigma=\| \vec\varphi_u\times\vec\varphi_v \| \dd u\dd v \end{eqnarray*}$

Dann würde ich das einfach nur in den Grenzen integrieren über $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

27.07.2024, 20:00

Leopold

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@ Ulrich

Dein Beitrag enthält

– weder einen Ansatz zum gestellten Problem
– noch eine kritische Betrachtung der vorgestellten Lösung
– noch einen ergänzenden oder weiterführenden Hinweis

Aber gut, daß du es mal gesagt hast... Augenzwinkern

28.07.2024, 04:12

ventilator

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@ Leopold

Vielen Dank für deine wunderbar anschauliche Erklärung und Einordnung mit einfachen/elementaren Mitteln.
Auf diese Art erlebe ich bei mir immer die größten Schritte beim Verstehensprozess.
Da hattest du dir deinen Frühstücksbagel passend zum Thema mehr als verdient. Big Laugh

Im Grunde geht es also lediglich um einen Kreis, der sich auf einer Kreisbahn bewegt.

Zitat:

Stellen wir uns also einen Kreis in der xz-Ebene vom Radius 1 mit Mittelpunkt (4,0,0) vor

Ich habe mir deine darauf folgende Parametrisierung klargemacht, indem ich mir für einen Kreis in der xz-Ebene mit Radius r und Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M(m_1,m_2,m_3) \end{eqnarray*}$ die entsprechende Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} (x-m_1)^2+(z-m_3)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ vorgestellt habe, wodurch dann mit $\begin{eqnarray*} x-m_1=r \cdot cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} z-m_3=r \cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ eine wahre Aussage folgen würde.
Dass y=0 gilt, ist eine generelle Eigenschaft von Punkten in der xz-Ebene.
Ebenso hätte man auch analog mit einem Kreis in der yz-Ebene mit x=0 arbeiten können, der danach dann für den Torus um die z-Achse gedreht wird.

Ich hoffe das stimmt soweit oder bin ich irgendwo unnötig kompliziert oder schwammig ?

Würdest du sagen, dass es generell empfehlenswert ist, wenn zwei Parameter u und v im Spiel sind, sich dann erstmal getrennt voneinander dem u- bzw- v-Term zu widmen, um zu durchschauen welche beiden Abbildungen hier stattgefunden haben könnten ?

@ Ulrich Ruhnau

Wie man die Oberfläche ausrechnet, das ist nicht mein Problem gewesen.
Das ist ja nur ein bisschen Rumgerechne und da kam ich auf $\begin{eqnarray*} O=16 \pi^2 \end{eqnarray*}$ .

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