Gleichheit von Endomorphismen durch Gleichheit des Skalarproduktes zeigen

27.07.2024, 12:53	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Endomorphismen durch Gleichheit des Skalarproduktes zeigen Ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen: Sei V $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und $\begin{eqnarray} f,h \in End(V) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ genau dann gleich sind, wenn $\begin{eqnarray} \langle f(v),v \rangle = \langle h(v), v\rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ . Mein Ideen bisher: Die Hinrichtung ist klar, bei der Rückrichtung habe ich bisher folgendes: Sei $\begin{eqnarray} g\in End(V) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g:= f-g \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} \langle f(v),v\rangle = \langle h(v),v \rangle \Rightarrow \langle f(v)-g(v) \rangle = 0 \Rightarrow \langle g(v),v\rangle =0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ algebraisch abgeschlossen ist, existiert mindestens ein Eigenwert. Sei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert zum Eigenvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \langle g(v), v \rangle = \langle \lambda v, v\rangle = \lambda \langle v,v\rangle = 0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \langle v,v \rangle > 0 \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ sein und 0 damit der einzig mögliche Eigenwert. Insbesondere muss g nilpotent sein. Weiter als das bin ich bisher nicht gekommen, ich weiß auch, dass für ein Skalarprodukt gilt: Wann immer $\begin{eqnarray} \langle v,w\rangle = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} w \in V \end{eqnarray}$ , dann muss $\begin{eqnarray} v = 0 \end{eqnarray}$ sein, das hilft mir hier aber nicht direkt weiter, da $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ja auch von v abhängt.
29.07.2024, 13:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Endomorphismen durch Gleichheit des Skalarproduktes zeigen Polarisationsformel hilft.
29.07.2024, 15:34	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Endomorphismen durch Gleichheit des Skalarproduktes zeigen Danke, hat geklappt

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