Hyperboloid

28.07.2024, 14:59

ventilator

Hyperboloid

Hallo zusammen

Es geht um den Körper K, der durch alle Punkte im IR³ beschrieben wird, für die x²+y²=z²+1 und $\begin{eqnarray*} |z| \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.
Laut Vorlesung ist bereits bekannt, dass es sich dabei um einen so genannten einschaligen Hyperboloiden handelt.

Ich möchte nun den Oberflächeninhalt $\begin{eqnarray*} O=\int \int f(x,y,z) ~ dS \end{eqnarray*}$ bzgl. K mit $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\sqrt{2z^2+1} \end{eqnarray*}$ berechnen und muss dafür ja eine entsprechende Parametrisierung vornehmen.

Zur Diskussion biete ich die folgenden drei Parametrisierungen an:

$\begin{eqnarray*} 1) \ ~ \ \vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} cosh(u) \cdot cos(v) \\ cosh(u) \cdot sin(v) \\ sinh(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ---> Das wurde in der Vorlesung als Beispiel angegeben

$\begin{eqnarray*} 2) \ ~ \ \vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} \sqrt{v^2+1} \cdot cos(u) \\ \sqrt{v^2+1} \cdot sin(u) \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ---> Das ist eine Eigenkreation inspiriert von der Grundidee die Hyperbel zu x²-z²=1 in der xz-Ebene um die z-Achse rotieren zu lassen

$\begin{eqnarray*} 3) \ ~ \ \vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} cos(u)-v \cdot sin(u) \\ sin(u)+ v \cdot cos(u) \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ---> Das habe ich mit der Suchfunktion im Matheboard gefunden

Bei 1) entsteht bei mir nach ein paar Umformungen als Integrand :

$\begin{eqnarray*} |\vec{x_u} \times \vec{x_v}| \cdot \sqrt{2 \cdot sinh^2(u)+1}=cosh(u) \cdot \sqrt{2 \cdot sinh^2(u)+1} \cdot \sqrt{2 \cdot sinh^2(u)+1}=cosh(u) \cdot cosh(2u)=\frac{1}{4} \cdot (e^{3u}+e^{u}+e^{-u}+e^{-3u}) \end{eqnarray*}$
Kann das jemand bestätigen und wenn ja, müsste bei v dann von 0 bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ und bei u wegen |sinh(u)|=1 von $\begin{eqnarray*} ln(1-\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} ln(1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ integriert werden ?
Das sieht mir alles irgendwie etwas kompliziert aus, von daher zweifle ich daran, dass ich richtig vorgehe.

Bei der in 2) für mich am besten nachzuvollziehenden Parametrisierung entsteht bei mir leider ein noch komplizierteres Integral als in 1), weshalb ich da irgendwann auch nicht weiterkam.

Recht simpel ging es mit dem Ansatz in 3), wobei nur das Problem ist, dass ich mir diese Parametrisierung nicht selbst herleiten kann und sie nur stumpf auswendig lernen könnte.
Kann mir vielleicht jemand erklären durch welche geometrischen Gedanken das zustande kommt ?

Und noch eine kleine Zusatzfrage:

Ist es normal, dass man je nach Parametrisierungsansatz das Pech haben kann auf ein unangenehmes Integral zu stoßen oder habe ich mich einfach bei 1) und 2) vertan und auch damit geht es ähnlich einfach wie bei 3) ?

28.07.2024, 18:05

Leopold

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Alle drei Parameterdarstellungen sind korrekt. Es ist etwas ungeschickt, daß du den Parameter, der für die Drehung um die $\begin{align*} z \end{align*}$ -Achse zuständig ist, bei 1) $\begin{align*} v \end{align*}$ , bei 2) und 3) dagegen $\begin{align*} u \end{align*}$ genannt hast. Damit das einheitlich ist, will ich ihn immer $\begin{align*} u \end{align*}$ nennen, wie schon in deiner vorigen Anfrage.

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ x = \cosh(v) \cos(u) \, , \ y = \cosh(v) \sin(u) \, , \ z = \sinh(v) \, ; \ \ v \in \left[ - \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) , \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) \right] \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ x = \sqrt{1+v^2} \cdot \cos(u) \, , \ y = \sqrt{1+v^2} \cdot \sin(u) \, , \ z = v \, ; \ \ v \in [-1,1] \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ x = \cos(u) - v \sin(u) \, , \ y = \sin(u) + v \cos(u) \, , \ z = v \, ; \ \ v \in [-1,1] \end{align*}$

Für alle drei Darstellungen gilt $\begin{align*} u \in [0,2\pi] \end{align*}$ .

Der Parameterdarstellung $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ liegt die folgende Parameterdarstellung der Hyperbel zugrunde, etwa in der $\begin{align*} xz \end{align*}$ -Ebene:

$\begin{align*} x = \cosh(v) \, , \ z = \sinh(v) \end{align*}$

(Dann Drehung um die $\begin{align*} z \end{align*}$ -Achse, wie wir das schon hatten.) Daß man damit die Parameterdarstellung einer Hyperbel (strenggenommen nur des Hyperbelasts mit positiven $\begin{align*} x \end{align*}$ -Werten) bekommt, beruht auf der fundamentalen Funktionalgleichung $\begin{align*} \cosh^2(v) - \sinh^2(v) = 1 \end{align*}$ , somit $\begin{align*} x^2 - z^2 = 1 \end{align*}$ .

Deine eigenen Parameterdarstellung verwendet eher, $\begin{align*} x \end{align*}$ als Funktion von $\begin{align*} z \end{align*}$ aufzufassen: $\begin{align*} x = \sqrt{1+z^2} \end{align*}$ , was mit der Einführung eines Parameters: $\begin{align*} z = v \end{align*}$ , auf $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ führt. Danach wieder eine Drehung wie gehabt.

Bei $\begin{align*} \text{(3)} \end{align*}$ kann man sich Folgendes überlegen. Nimm in einem zweidimensionalen $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Koordinatensystem einen Punkt $\begin{align*} (p,q) \end{align*}$ und drehe ihn um den Ursprung:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(u) & - \sin(u) \\ \sin(u) & \cos(u) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \end{align*}$

Wenn nun $\begin{align*} u \end{align*}$ ein Intervall der Länge $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ durchläuft, dreht sich der Punkt einmal um den Ursprung. Der Radius des Kreises, auf dem sich der Punkt bewegt, ist $\begin{align*} r = \sqrt{p^2 + q^2} \end{align*}$ . Die Kreisbewegung startet sozusagen nicht "rechts außen", sondern an der Stelle $\begin{align*} (p,q) \end{align*}$ .
In deinem Fall ist nun $\begin{align*} p=1, \, q=v \end{align*}$ , das heißt der Radius $\begin{align*} r = \sqrt{1+v^2} \end{align*}$ .
Aufs Dreidimensionale ausgedehnt, können wir den Punkt $\begin{align*} (1,v,v) \end{align*}$ (für den Parameterwert $\begin{align*} u=0 \end{align*}$ ) nehmen und ihn einmal um die $\begin{align*} z \end{align*}$ -Achse drehen. Bei der Drehung kommt er zweimal in der $\begin{align*} xz \end{align*}$ -Ebene $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ vorbei. Da er auf einem Kreis parallel zur $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Ebene vom Radius $\begin{align*} \sqrt{1+v^2} \end{align*}$ rotiert, hat er dabei die Koordinaten $\begin{align*} \left( \pm \sqrt{1+v^2}, 0, v \right) \end{align*}$ . Zwischen seinen Koordinaten $\begin{align*} x = \pm \sqrt{1+v^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} z = v \end{align*}$ gilt daher $\begin{align*} x^2 - z^2 = 1 \end{align*}$ , was zeigt, daß der in der $\begin{align*} xz \end{align*}$ -Ebene auf der bekannten Hyperbel liegt.

Der Integrand bei $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ ist ( $\begin{align*} u,v \end{align*}$ gegenüber deiner Darstellung vertauscht):

$\begin{align*} \left| \, \frac{\partial \vec{x}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{x}}{\partial v} \, \right| = \sqrt{1 + 2 \sinh^2(v)} \cdot \cosh(v) \end{align*}$

Deine Darstellung verstehe ich nicht. Da scheinen irgendwie Malpunkte und Gleichheitszeichen durcheinandergeraten zu sein.

Das Integral löst man am besten mit der Substitution

$\begin{align*} \sqrt{2} \sinh(v) = \sinh(t) \end{align*}$

$\begin{align*} \sqrt{2} \cosh(v) ~ \dd v = \cosh(t) ~ \dd t \end{align*}$

30.07.2024, 19:51

ventilator

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Zitat:

Es ist etwas ungeschickt, daß du den Parameter, der für die Drehung um die z-Achse zuständig ist, bei 1) v, bei 2) und 3) dagegen u genannt hast.

Oh ja, das sehe ich ein. Danke für den Hinweis. Wink

Vielen Dank auch für die anschauliche Erklärung für 3).
Das mit der Drehmatrix hätte mir eigentlich auffallen können, aber da bin ich wohl etwas eingerostet.

Zitat:

Deine Darstellung verstehe ich nicht. Da scheinen irgendwie Malpunkte und Gleichheitszeichen durcheinandergeraten zu sein.

Da man laut Aufgabe das Flächenintegral der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\sqrt{2z^2+1} \end{eqnarray*}$ bestimmen soll, hatte ich den Integranden von $\begin{eqnarray*} \int \int |\vec{x_u} \times \vec{x_v}| \cdot f(\vec{x}(u,v)) ~du \ dv \end{eqnarray*}$ betrachtet, also direkt inklusive der dranmultiplizierten Funktion f. Oder verstehe ich da etwas falsch ?

30.07.2024, 19:56

ventilator

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Ach ja und noch eine kleine Nachfrage :

Würdest du auch mit der 3. Variante arbeiten oder meinst du das Integral zur 2. Variante ist halb so schlimm und ebenso gut effizient machbar ?

31.07.2024, 08:11

Leopold

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Daß da noch ein Integrand $\begin{align*} f \end{align*}$ ist, hat mein Gehirn entweder nicht registriert oder im Lauf der Rechnung erfolgreich verdrängt. Ich hatte mich nur noch auf das Oberflächenelement konzentriert. Du hast also recht, es paßt alles.

Wenn du bei 1) am Ende allerdings den $\begin{align*} \cosh(2v) \end{align*}$ ( $\begin{align*} u,v \end{align*}$ bei mir anders herum als bei dir) ins Spiel bringst, machst du die Sache, wie mir scheint, komplizierter. Es liegt alles schön bereit für die Substitution $\begin{align*} t = \sinh(v) \end{align*}$ .

Die Rechnungen bei 2) und 3) laufen letztlich auf dasselbe Integral wie bei 1) hinaus. Einfach mal durchrechnen.

31.07.2024, 10:23

ventilator

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Dankeschön, ich werde das alles nochmal mit deiner erwähnten Substitution durchrechnen. Freude

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