Ganze Funktion ist konstant

29.07.2024, 20:19

Marie00

Ganze Funktion ist konstant

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine ganze Funktion sodass gilt: $\begin{eqnarray*} f(z^2) \leq f(z) \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass die Funktion konstant ist

Meine Ideen:
Wenn man einmal die linke Seite durch die rechte teilt und den Riemannschen Hebbarkeitssatz verwendet, liefert der Satz von Liouville zumindest, dass $\begin{eqnarray*} f(z^2)=cf(z) \end{eqnarray*}$ , für eine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht, ob das für die Aufgabe hilft, mehr konnte ich aber bisher nicht zeigen.

29.07.2024, 20:31

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RE: Ganze Funktion ist konstant
Aus dieser Gleichheit müsste sich doch mit der Potenzreihendarstellung etwas machen lassen.

29.07.2024, 20:40

IfindU

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RE: Ganze Funktion ist konstant

Zitat:

Original von Marie00
Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine ganze Funktion sodass gilt: $\begin{eqnarray*} f(z^2) \leq f(z) \end{eqnarray*}$ .

Wie ist $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ hier zwischen komplexen Zahlen aufzufassen?

29.07.2024, 20:49

Marie00

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Betrag auf beiden Seiten vergessen...

29.07.2024, 21:00

HAL 9000

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Wichtige Ergänzung...

Die Behauptung folgt nun ziemlich einfach aus dem Satz von Liouville.

29.07.2024, 21:09

Marie00

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Den Satz von Liouville hab ich oben bei meinen Ideen schon verwendet, aber die Behauptung konnte ich damit nicht zeigen. Ich fürchte ich brauche da noch einen weiteren Hinweis.

29.07.2024, 21:20

HAL 9000

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1) Aus der gegebenen Ungleichung folgt speziell auch $\begin{eqnarray*} \left| f\left( z_0^{2^n}\right) \right| \leq \left| f\left( z_0\right) \right| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z_0\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

2) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist beschränkt auf jedem beschränktem Gebiet, z.B. auch auf $\begin{eqnarray*} G = B_2\left(0\right) = \left\{ z\in\mathbb{C} \mid |z|<2 \right\} \end{eqnarray*}$ .

3) Für jedes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ findet man ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} z_0\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = z_0^{2^n} \end{eqnarray*}$ .

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