Kegelparametrisierung

30.07.2024, 23:39	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelparametrisierung Hallo Es geht um die Fläche für $\begin{eqnarray} K=\left\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 : x^2+y^2 \leq 1 , z=\sqrt{x^2+y^2}\right\} \end{eqnarray}$ Mein 1. Vorschlag für eine Parametrisierung wäre $\begin{eqnarray} \vec{x(u,v)}=\begin{pmatrix} u \\ v \\ \sqrt{u^2+v^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\vec{x_u} \times \vec{x_v}\|=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und entsprechendem Flächenintegral $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}} \sqrt{2} ~ dv ~ du=2 \cdot \sqrt{2} \cdot \int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}~du \end{eqnarray}$ Falls das bis dahin überhaupt richtig ist, wäre es in einer Klausur wohl denkbar statt einer weiteren aufwändigen Integration das Integral lieber direkt als Flächeninhalt eines Halbkreises mit Radius 1, also $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ , zu deuten ? Dadurch würde man sich ja eine Menge Arbeit sparen und wenn man eh über Wochen hinweg immer wieder mit Kreisgleichungen hantiert, fällt so ein Gedanke auch nicht gerade vom Himmel. Mein 2. Vorschlag für eine Parametrisierung wäre $\begin{eqnarray} \vec{x(u,v)}=\begin{pmatrix} u \cdot cos(v)\\ u \cdot sin(v) \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\vec{x_u} \times \vec{x_v}\|=\sqrt{2}u \end{eqnarray}$ und entsprechendem Flächenintegral $\begin{eqnarray} \int_{0}^1 \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2}u ~ dv ~ du \end{eqnarray}$ . Würdet ihr sagen, dass das so die üblichen Parametrisierungsideen sind oder welchen Lösungsweg würdet ihr hier gehen ?
31.07.2024, 08:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin der Meinung, daß man für $\begin{align} \int_{-1}^1 \sqrt{1-u^2} ~ \dd u \end{align}$ einfach $\begin{align} \frac{\pi}{2} \end{align}$ schreiben kann, wenn das schon ein paarmal dran war und auch dem letzten klargeworden ist, daß man es als Flächeninhalt eines Einheitshalbkreises deuten kann. Aber ich bin hier nicht maßgeblich. Frag bei den Verantwortlichen deiner Lehrveranstaltung nach, wie sie das sehen. Es könnte ja auch sein, daß sie dem Prüfling ein paar leicht verdiente Punkte zuschanzen wollen, indem der Prüfling demonstriert, daß er die Technik zur Berechnung eines solchen Integrals beherrscht. Auf diese Punkte würdest du dann gegebenenfalls "verzichten".
31.07.2024, 10:19	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Einschätzung. Ich werde dann lieber nochmal im Lehrstuhl nachfragen, sicher ist sicher. Eine kurze Nachfrage noch: Kann man es sich so merken, dass wenn eine Koordinate linear vom Radius abhängt, dass man es dann immer als eine Rotation einer Geraden um eine entsprechende Achse deuten kann, was einen Kegel zur Folge hat ? Hier würde dann ja z.B. die z-Koordinate linear vom Radius abhängen und um die z-Achse rotieren.

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