Kugelkoordinaten

31.07.2024, 12:01	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelkoordinaten Guten Tag Es geht um die Berechnung des Integrals $\begin{eqnarray} \int \int (x+y+z) ~dS \end{eqnarray}$ über der Einheitskugel bzw. deren Oberfläche, welche aus allen Punkten (x,y,z) mit x²+y²+z²=1 entsteht. Für eine passende Parametrisierung dachte ich mir somit, dass es naheliegend ist, dass man für r=1 mit Kugelkoordinaten arbeitet und damit komme ich auf : $\begin{eqnarray} \vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} cos(u)cos(v) \\ cos(u)sin(v) \\ sin(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} - \frac{\pi}{2} \leq u \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq v \leq 2 \pi \end{eqnarray}$ . Weiterhin erhalte ich $\begin{eqnarray} \|\vec{x_u} \times \vec{x_v}\|=cos(u) \end{eqnarray}$ und letztlich folgt das Integral : $\begin{eqnarray} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2 \pi} \|\vec{x_u} \times \vec{x_v}\| \cdot f(\vec{x}(u,v)) ~ dv ~du= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2 \pi} cos(u) \cdot (cos(u)cos(v)+cos(u)sin(v)+sin(u)) ~dv ~du \end{eqnarray}$ Nach dem Lösen des inneren Integrals verbleibt bei mir $\begin{eqnarray} \pi \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2sin(u)cos(u) ~ du=\pi \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sin(2u) ~ du \end{eqnarray}$ Meine Fragen dazu wäre nun : 1.) Ist die Wahl der Parametrisierung hier sinnvoll oder geht es auch einfacher ? 2.) Ist es hier ein immenser Vorteil erst nach v und dann nach u zu integrieren, da sonst weitaus unangenehmere Stammfunktionen auf einen zukommen ? 3.) Kommt hier wegen der punktsymmetrischen Sinusfunktion am Ende tatsächlich Null raus oder habe ich mich irgendwo vertan ?
31.07.2024, 15:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{align} \dd \sigma \end{align}$ das Oberflächenelement und $\begin{align} S^2 \end{align}$ die zweidimensionale Sphäre $\begin{align} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \end{align}$ . Mit $\begin{align} S_+^2 \end{align}$ sei die Nordhalbkugel (mit $\begin{align} z \geq 0 \end{align}$ ), mit $\begin{align} S_-^2 \end{align}$ die Südhalbkugel (mit $\begin{align} z \leq 0 \end{align}$ ) bezeichnet: $\begin{align} \int_{S^2} \left( x+y+z \right) ~ \dd \sigma \ = \ \int_{S^2} x ~ \dd \sigma \ + \ \int_{S^2} y ~ \dd \sigma \ + \ \int_{S^2} z ~ \dd \sigma \ = \ 3 \int_{S^2} z ~ \dd \sigma \ = \ 3 \int_{S_+^2} z ~ \dd \sigma \ + \ 3 \int_{S_-^2} z ~ \dd \sigma \ = \ \text{???} \end{align}$
31.07.2024, 17:05	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Das deute ich mal als Erklärung dafür, dass der Integralwert Null ergeben muss weil sich die orientierten Flächen oberhalb und unterhalb der xy-Ebene aufheben. Würde diese Herangehensweise ebenso allgemein für Funktionen der Form $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=a \cdot (x^n+y^n+z^n) \end{eqnarray}$ gelten ?
31.07.2024, 20:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \int_{-1}^1 x ~ \dd x \ = \ 0 \end{align}$ $\begin{align} \int_{-1}^1 x^n ~ \dd x \ \stackrel{\text{?}}{=} \ 0 \end{align}$
31.07.2024, 20:44	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah stimmt, der Exponent sollte ungerade sein, sonst kommt die erforderliche Symmetrie ja gar nicht erst zustande.

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