Algebra der reellen Polynomfunktionen

31.07.2024, 14:44

KonverDiv

Algebra der reellen Polynomfunktionen

Hallo

,

Welche der Elemente der Algebra der reellen Polynomfunktionen sind invertierbar?

Ich würde sagen, dass nur die konstanten Polynome also $\begin{eqnarray*} f(x) = c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ in dieser Algebra invertierbar sind.

Gibt es in dieser Algebra Nullteiler?

Ein Nullteiler zu einem Element $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist so definiert, dass $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} ab = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Bezogen auf die Algebra der reellen Polynomfunktionen geht es also um die Frage, ob es Polynomfunktionen $\begin{eqnarray*} f(x),g(x) \end{eqnarray*}$ gibt sodass $\begin{eqnarray*} f(x) g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Die Multiplikation zweier Polynome ergibt nur dann 0, wenn eines der Polynome, oder beide, das Nullpolynom sind. Aber das Nullpolynom ist doch nicht das Null-Element, daher würde ich sagen, gibt es in dieser Algebra keinen Nullteiler.

Was meint Ihr?

31.07.2024, 16:13

Elvis

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Das Nullpolynom 0(x) ist das Nullelement des Rings der reellen Polynome, weil f(x)*0(x)=0(x)*f(x)=0(x) für alle reellen f(x) gilt. Die Algebra der reellen Polynomfunktionen ist isomorph zur Algebra der reellen Polynome.
Zu den Fragen nach invertierbaren Polynomen und Nullteilern darfst du gerne eine Meinung haben. Aber bedenke immer, dass Richard Dedekind gesagt hat: "In der Wissenschaft soll man nichts glauben, was man beweisen kann."
In diesem Fall gehen die Beweise ganz locker über die konstanten Glieder der Faktoren eines Produktes und die Definition des Produktes zweier Polynome.

31.07.2024, 19:00

KonverDiv

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Ein Vorschlag für einen Beweis für den ersten Teil: "Welche der Elemente der Algebra der reellen Polynomfunktionen sind invertierbar?"

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Algebra der reellwertigen Polynome, dann bedeutet Invertierbarkeit zunächst $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x),g(x) \in A \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{eqnarray*}$ muss sich der Grad der Polynome $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ zu Null addieren. Betrachten wir daher die konstanten Polynome $\begin{eqnarray*} f(x) = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = 1/c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann haben wir $\begin{eqnarray*} f(x) g(x) = c \cdot \frac{1}{c} = 1 \end{eqnarray*}$ . Das zeigt, dass konstante Polynome invertierbar sind.

31.07.2024, 20:43

Elvis

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Das ist eine Hälfte des Beweises und zeigt, dass konstante Polynome ungleich 0 invertierbar sind. Warum gibt es keine anderen?

01.08.2024, 08:01

KonverDiv

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Hallo @Elvis,

Begründung: Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} grad(f(x) \cdot g(x)) = grad(f(x)) + grad(g(x)) = 0 \end{eqnarray*}$ . Daher können nur konstante Polynome invertierbar sein und keine anderen.

01.08.2024, 08:26

Elvis

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So wird aus dem schlichten Glauben an die Wahrheit ein guter Beweisversuch. Ein vollständiger Beweis müsste noch grad(fg)=grad(f)+grad(g) beweisen. Gilt das in jedem Polynomring, in jedem Ring von Polynomfunktionen, oder nicht? Wenn nicht, warum in diesem Beispiel? Bei der Invertierbarkeit hast du auf die reellen Zahlen hingewiesen, warum nicht auch beim Grad des Produkts.

01.08.2024, 08:51

KonverDiv

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Hallo @Elvis, danke für deine Antwort!

Zitat:

Original von Elvis
Bei der Invertierbarkeit hast du auf die reellen Zahlen hingewiesen, warum nicht auch beim Grad des Produkts.

Hier möchte ich noch kurz nachfragen, was du mit dem letzten Teil des Satzes genau meinst? Was hätte ich hier genau noch ergänzen müssen?

PS: Einen Beweis für Teil 2 liefere ich noch nach. Mich würde es freuen, wenn du dir den vielleicht auch noch ansehen könntest smile

Ergänzung:

Beweis für Teil 2 "Gibt es in dieser Algebra Nullteiler?"

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Algebra der reellen Polynomfunktionen. Ein Nullteiler verlangt nun, dass zu $\begin{eqnarray*} f(x) \neq 0 \in A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} g(x) \neq 0 \in A \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das heißt aber $\begin{eqnarray*} grad(f(x) \cdot g(x)) = grad(f(x)) + grad(g(x)) = 0 \end{eqnarray*}$ . Dies geht nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Dies verletzt aber die Annahme eines Nullteilers, denn $\begin{eqnarray*} f(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ respektive $\begin{eqnarray*} g(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten in der Algebra der reellen Polynomfunktionen kann es keinen Nullteiler geben.

01.08.2024, 11:13

Elvis

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Im Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4[x] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2x\cdot 2x=0 \end{eqnarray*}$ das Nullpolynom, also gibt's Nullteiler. Der Gradsatz ist nicht trivial, also muss man ihn beweisen. Man muss wissen, für welche Polynome oder Polynomfunktionen er gilt und für welche nicht.

01.08.2024, 11:25

KonverDiv

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Hallo @Elvis!

Zitat:

Original von Elvis
Im Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4[x] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2x\cdot 2x=0 \end{eqnarray*}$ das Nullpolynom, also gibt's Nullteiler. Der Gradsatz ist nicht trivial, also muss man ihn beweisen. Man muss wissen, für welche Polynome oder Polynomfunktionen er gilt und für welche nicht.

Ja das stimmt, ein ähnliches Beispiel hatte ich mir auch überlegt. Allerdings reden wir dann hier nicht mehr von reellen Polynomen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ , sondern von Polynomen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_4[x] \end{eqnarray*}$ . Aber ich verstehe was du sagen willst.

PS: Was sagst du zu dem zweiten Beweis? Unter Vorbehalt des Gradsatzes, den es noch zu beweisen gilt Augenzwinkern

01.08.2024, 11:56

Elvis

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Der Grad eines Polynoms ist 0 für konstante Polynome, nicht nur für das Nullpolynom. Daher ist der Beweis für Nullteilerfreiheit noch nicht ganz richtig.

Übrigens habe ich noch ein Beispiel für Polynomfunktionen über endlichen Körpern $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q \end{eqnarray*}$ , die nicht konstant aber invertierbar sind. Es ist $\begin{eqnarray*} x^{q-1}=1 \end{eqnarray*}$ , also z.B. $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ invertierbar wegen $\begin{eqnarray*} x\cdot x=x^2=1 \end{eqnarray*}$ , obwohl der Gradsatz für Polynome über Körpern gilt.

Das zeigt, dass du bei deinen Beweisen nicht darauf verzichten darfst, explizit auf reelle Polynomfunktionen hinzuweisen. Bei Polynomfunktionen und Polynomen ist immer wichtig, über welchen Ringen diese gebildet werden, und man muss im allgemeinen zwischen Polynomfunktionen und Polynomen unterscheiden.

01.08.2024, 12:12

KonverDiv

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Hallo @Elvis!

Zitat:

Original von Elvis
Der Grad eines Polynoms ist 0 für konstante Polynome, nicht nur für das Nullpolynom. Daher ist der Beweis für Nullteilerfreiheit noch nicht ganz richtig.

Oh ja, das stimmt darüber reden wir ja auch! Dann würde ich zur Korrektur meines Beweises noch einfließen lassen, dass $\begin{eqnarray*} grad(f(x) g(x)) = grad(f(x)) + grad(g(x)) = 0 \end{eqnarray*}$ auch für konstante reelle Polynome gilt. Aber konstante reelle Polynome wie $\begin{eqnarray*} f(x) = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = c' \end{eqnarray*}$ erfüllen $\begin{eqnarray*} f(x) g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ nur, wenn $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c'=0 \end{eqnarray*}$ bzw. beide $\begin{eqnarray*} c = c' = 0 \end{eqnarray*}$ sind. Der erste Fall zeigt, dass es dann keinen Nullteiler gibt weil z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = c \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} c' = 0 \end{eqnarray*}$ und umgekehrt. Der zweite Fall, also beide Null (Nullteiler beinhaltet ja zwei Elemente, die nicht Null sind), wurde ja vorher schon behandelt.

Zitat:

Original von Elvis
Übrigens habe ich noch ein Beispiel für Polynomfunktionen über endlichen Körpern $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q \end{eqnarray*}$ , die nicht konstant aber invertierbar sind. Es ist $\begin{eqnarray*} x^{q-1}=1 \end{eqnarray*}$ , also z.B. $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ invertierbar wegen $\begin{eqnarray*} x\cdot x=x^2=1 \end{eqnarray*}$ , obwohl der Gradsatz für Polynome über Körpern gilt.

Das zeigt, dass du bei deinen Beweisen nicht darauf verzichten darfst, explizit auf reelle Polynomfunktionen hinzuweisen. Bei Polynomfunktionen und Polynomen ist immer wichtig, über welchen Ringen diese gebildet werden, und man muss im allgemeinen zwischen Polynomfunktionen und Polynomen unterscheiden.

Das ist lehrreich! Das gucke ich mir nochmal genauer an. Zum zweiten Teil: Ja, es kommt drauf an über welchen Ringen diese gebildet werde, das stimmt!

01.08.2024, 12:38

Leopold

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Zitat:

Original von KonverDiv

Zitat:

Das ist lehrreich! Das gucke ich mir nochmal genauer an. Zum zweiten Teil: Ja, es kommt drauf an über welchen Ringen diese gebildet werde, das stimmt!

Guck's dir ganz genau an. Denn die Entdeckung $\begin{align*} 0^{q-1} = 1 \end{align*}$ ist besonders lehrreich.

01.08.2024, 13:00

Elvis

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01.08.2024, 13:30

KonverDiv

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Du meintest aber die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_q^* \end{eqnarray*}$ , anstelle von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_q \end{eqnarray*}$ , oder?

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