Flussintegral

01.08.2024, 18:27	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral Hallo Gegeben ist $\begin{eqnarray} \vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} cos(u)-v \cdot sin(u) \\ sin(u)+ v \cdot cos(u) \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Parametrisierung einer Fläche H mit $\begin{eqnarray} 0 \leq u \leq 2 \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -1 \leq v \leq 1 \end{eqnarray}$ Als Vektorfeld ist $\begin{eqnarray} \vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Man soll nun über H das Flussintegral $\begin{eqnarray} \int \int \vec{F} \cdot d\vec{S} \end{eqnarray}$ bezüglich der nach außen zeigenden Normalen bestimmen. Nutzt man den Zusammenhang $\begin{eqnarray} \int \int \vec{F} \cdot d\vec{S}=\int \int \vec{F}(\vec{x}(u,v)) \cdot (\vec{x_u} \times \vec{x_v})~du~dv \end{eqnarray}$ dann komme ich damit im Integranden auf 1 und letztendlich mit den gegebenen Grenzen auf $\begin{eqnarray} 4 \pi \end{eqnarray}$ . Nutzt man den Gaußschen Integralsatz, dann merke ich für eine Probe, dass mit $\begin{eqnarray} div(\vec{F})=3 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} 3 \cdot \int \int \int ~dx ~dy ~dz=3 \cdot V_{Hyperboloid}=3 \cdot \frac{\pi}{3} \cdot (1^3+3 \cdot1)=4 \pi \end{eqnarray}$ rauskommt. Damit habe ich aber geschummelt, weil ich zufällig mal rausgefunden hatte, dass die obige Parametrisierung zu einem einschaligen Hyperboloiden passt, was in der Vorlesung aber nicht gezeigt wurde. Mit wurde zwar hier im Board dankenswerterweise von Leopold erklärt, wie man darauf kommt, aber ganz so trivial ist das ja dann auch nicht gerade, dass ich es in einer Klausur mal eben schnell herleiten kann. 2 Fragen stellen sich mir daher: 1.) Könnte man sich $\begin{eqnarray} \vec{F}(\vec{x}(u,v)) \cdot (\vec{x_u} \times \vec{x_v})=1 \end{eqnarray}$ eigentlich auch schneller erschließen oder ist das zufällig, dass da so schön glatt 1 rauskommt ? 2.) Kann man das Flussintegral mit dem Gaußschen Integralsatz auch irgendwie über u und v bestimmen ?
05.08.2024, 21:18	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nochmal über die Aufgabe nachgedacht und möchte ein paar Korrekturen vornehmen: Zum einen muss das Volumen noch verdoppelt werden bzw. hätte ich lieber mit der Formel $\begin{eqnarray} V=\frac{\pi}{3} \cdot h \cdot (2r_{min}^2+r_{max}^2)=\frac{\pi}{3} \cdot 2 \cdot (2 \cdot 1^2+\sqrt{2}^2)=\frac{8}{3} \pi \end{eqnarray}$ arbeiten sollen, was dann zu $\begin{eqnarray} \int \int \int div(\vec{F})~dx~dy~dz=3 \cdot \frac{8}{3} \pi = 8 \pi \end{eqnarray}$ führt. Schöner wäre es aber über Zylinderkoordinaten : $\begin{eqnarray} \int \int \int div(\vec{F})~dx~dy~dz= 3 \cdot \int_0^{2 \pi} \int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{z^2+1}} ~ r \cdot dr ~ dz ~ d \varphi= ~... ~ =8 \pi \end{eqnarray}$ Dass ich über den Flächenrand $\begin{eqnarray} \delta H \end{eqnarray}$ integriert bisher nur auf $\begin{eqnarray} \int \int \vec{F} \cdot d\vec{S}=\int_{-1}^1 \int_0^{2 \pi} \vec{F}(\vec{x}(u,v)) \cdot (\vec{x_u} \times \vec{x_v})~du~dv=4 \pi \end{eqnarray}$ komme, liegt vermutlich daran, dass ich bisher noch gar nicht den kreisförmigen Boden B und Deckel D des Körpers mit einbezogen hatte, welche in der Höhe z=-1 bzw z=1 liegen und dadurch mit x²+y²=z²+1 folglich jeweils die Kreisgleichung x²+y²=2 entsteht. Der Kreisradius lautet also $\begin{eqnarray} r=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ , was dann für die zwei Kreisflächen $\begin{eqnarray} A_B+A_D=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{2}^2=4 \pi \end{eqnarray}$ ergibt. Damit wäre dann auch mit $\begin{eqnarray} \int_{\delta A}~ \vec{F} \cdot \vec{n} ~ds = \int \int \int_{A}~div(\vec{F})~dx~dy~dz=8 \pi \end{eqnarray}$ die Identitätsaussage des Gaußschen Integralsatzes gezeigt. Habe ich alles richtig gemacht oder gibt es noch Fehler ?
06.08.2024, 07:47	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Weitere Korrektur : Es geht natürlich nicht um die Flächeninhalte, sondern um den Fluss durch diese Flächen. Für die untere Kreisfläche in z=-1 könnte man mit $\begin{eqnarray} \vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} u \cdot cos(v) \\ u \cdot sin(v) \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für die obere entsprechend mit $\begin{eqnarray} \vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} u \cdot cos(v) \\ u \cdot sin(v) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ parametrisieren. Es gilt für die entsprechenden Definitionsbereiche $\begin{eqnarray} 0 \leq u \leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq v \leq 2 \pi \end{eqnarray}$ . Für den Kreis in z=-1 ergibt sich zunächst $\begin{eqnarray} \vec{n}=\vec{x_u} \times \vec{x_v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Da dieser Normalenvektor nach innen gerichtet ist, nimmt man für die äußere Normale somit einfach $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das führt zum Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec{F}(\vec{x}(u,v)) \cdot \vec{n}=u \end{eqnarray}$ . Für den entsprechenden Integralfluss ergibt sich also $\begin{eqnarray} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\sqrt{2}}~u~du~dv=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}^2 \cdot 2 \pi=2 \pi \end{eqnarray}$ Für den oberen Kreis in z=1 ergibt sich als nach außen gerichteter Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , was im Skalarprodukt wiederum zu u führt und ebenso als Resultat $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ liefert. Dass da im Endeffekt dasselbe rauskommt wie bei den einzelnen Kreisflächeninhalten, das hängt mit der einfachen Strucktur des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zusammen oder wie kann man das deuten ?
09.08.2024, 21:58	ventilator	Auf diesen Beitrag antworten »
Mag vielleicht jemand noch über meine Ausführungen drüberschauen und sie bewerten ? Oder soll ich lieber einen neuen Thread eröffnen, wo man alles komprimierter vor Augen hat ?

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