Lotto-Kombinationen

06.08.2024, 14:25

Lotto-Otto

Lotto-Kombinationen

Meine Frage:
Wieviele 6 Richtige gibt es im Lotto, wenn keine Zahlen vorkommen, die direkt nebeneinander stehen dürfen?

Meine Ideen:
Suche die Formel dafür.

06.08.2024, 16:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lotto-Otto
Wieviele 6 Richtige gibt es im Lotto, wenn keine Zahlen vorkommen, die direkt nebeneinander stehen dürfen?

Etwas seltsam formuliert... anscheinend meinst du hier die Anzahl der möglichen Ziehungsergebnisse "6 aus 49", bei denen keine direkt nebeneinander stehenden Zahlen vorkommen.

Antwort: Durch die bijektive Abbildung

$\begin{eqnarray*} \left(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6\right) \to \left(k_1,k_2-1,k_3-2,k_4-3,k_5-4,k_6-5\right) \end{eqnarray*}$

auf die Menge aller Ziehungsergebnisse von 6 aus 44 bekommt man direkt die Anzahl $\begin{eqnarray*} \binom{44}{6} \end{eqnarray*}$ .

06.08.2024, 20:30

Elvis

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Es gibt 48 Paare und dazu jeweils $\begin{eqnarray*} \binom {47} {4} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, die anderen 4 Zahlen zu ziehen. Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} \binom {49} {6}-48\cdot \binom {47} {4} \end{eqnarray*}$ . Das ist aber nur 5422296 statt 7059052. Da HAL 9000 meistens recht hat, habe ich vermutlich einen Denkfehler. (Ziehe ich hier Möglichkeiten mehrfach ab, in denen mehrere Paare auftreten?)

07.08.2024, 07:07

Lotto-Otto

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Danke euch beiden.

07.08.2024, 09:24

Elvis

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Ich wüsste gerne, wie die bijektive Abbildung begründet wird. Weißt du es, Lotto-Otto? Ausserdem wüsste ich gern, ob mein Ansatz irgendwie zu retten ist. Wenn du beides nicht weißt, brauchst du dich noch nicht bedanken.

07.08.2024, 10:50

Lotto-Otto

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Ich habe noch einen Freund gefragt, der KI nutzt.
Es sagt, dass es genau 5,540,293 mögliche Kombinationen im Lotto gibt,
bei denen keine Zahlen vorkommen, die direkt nebeneinander stehen.

Das hat er mir geschickt:

Wir werden das Prinzip der Einschließung-Ausschließung verwenden.
Schritt 1: Gesamtzahl der möglichen Kombinationen
C(49,6) = 13,983,816
Schritt 2: Kombinationen mit mindestens einem benachbarten Paar
Wir bezeichnen die Anzahl der Kombinationen mit i benachbarten Paaren als Ai.
A1: C(48,1) * C(47,4) = 48 * 178,365 = 8,561,520
A2: C(47,2) * C(45,2) = 1,081 * 990 = 1,070,190
A3: C(46,3) = 15,180
A4: C(45,4) = 148,995
A5: C(44,5) = 1,086,008
Schritt 3: Anwendung des Prinzip der Einschließung-Ausschließung
Anzahl der gültigen Kombinationen = Gesamtzahl - (A1 - A2 + A3 - A4 + A5)
13,983,816 - (8,561,520 - 1,070,190 + 15,180 - 148,995 + 1,086,008)
= 13,983,816 - 8,443,523
= 5,540,293

07.08.2024, 12:41

Elvis

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Wenn das so stimmt, dann war mein Ansatz der erste Schritt auf dem Weg zur richtigen Antwort, und das Ergebnis nur knapp daneben. Die Erklärung für meine Unterschätzung habe ich auch gestern schon gegeben.

08.08.2024, 11:25

HAL 9000

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Nehmen wir mal ein einfacheres Beispiel: Lotto 3 aus 8

Meine Rechnung wäre da $\begin{eqnarray*} \binom{6}{3} = 20 \end{eqnarray*}$ , und hier sind die 20 Ziehungen:

1,3,5
1,3,6
1,3,7
1,3,8
1,4,6
1,4,7
1,4,8
1,5,7
1,5,8
1,6,8
2,4,6
2,4,7
2,4,8
2,5,7
2,5,8
2,6,8
3,5,7
3,5,8
3,6,8
4,6,8

Elvis Rechnung übertragen wäre dann:

Zitat:

Es gibt 7 Paare und dazu jeweils $\begin{eqnarray*} \binom {6}{1} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, die andere Zahl zu ziehen. Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} \binom {8}{3}-7\cdot \binom {6}{1}=14 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Offenkundig falsch.

@Lotto-Otto

Wie sieht deine Rechnung (die ich nicht verstanden habe) übertragen auf dieses einfachere Beispiel aus?

P.S.: Verstanden habe ich vor allem nicht, auf welche Mengen genau hier das Inklusions-Exklusions-Prinzip angewandt wurde bzw. angewandt werden sollte. unglücklich

----------------------------------------------------------------------------------------

Inklusion-Exklusion könnte ich mir allenfalls so vorstellen:

$\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ... Zahl $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i+1 \end{eqnarray*}$ kommen in der Ziehung vor

Zu berechnen ist dann $\begin{eqnarray*} N = \left| \Omega\setminus \left(\bigcup_{i=1}^{48} A_i\right) \right| \end{eqnarray*}$ über Inklusion-Exklusion.

$\begin{eqnarray*} |\Omega| = \binom{47}{6} \end{eqnarray*}$ ist klar, auch $\begin{eqnarray*} |A_i| = \binom{47}{4} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,2,\ldots,48 \end{eqnarray*}$ ist nachvollziehbar.

Aber beim Schnitt zweier dieser Mengen gehen die Probleme schon los: Es ist

$\begin{eqnarray*} |A_i\cap A_j| = \binom{45}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j>i+1 \end{eqnarray*}$ , aber im Fall $\begin{eqnarray*} j=i+1 \end{eqnarray*}$ gilt abweichend $\begin{eqnarray*} |A_i\cap A_j| = |A_i\cap A_{i+1}| = \binom{46}{3} \end{eqnarray*}$ .

Beim Schnitt dreier Mengen wird es noch ekliger...

P.S.: Ist schon erstaunlich, wie in letzter Zeit der Energieaufwand steigt, den Leuten die unkritische KI-Gläubigkeit auszutreiben. Finger1

Und für die nach wie vor Ungläubigen die Bruteforce-Variante in Python, die mein Ergebnis ebenfalls bestätigt:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:

from itertools import combinations

count = 0
for c in combinations(range(1,50), 6):
    success = True
    for i in range(0,5):
        if c[i+1] == c[i]+1:
            success = False
            break
    if success:
        count += 1
print(count)

EDIT (12.8.24): Hmm, erst rumzweifeln und dann nicht mehr reagieren - das erfreut das Helferherz.

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