Eindeutigkeit bei AWP

07.08.2024, 19:56

flake

Eindeutigkeit bei AWP

Guten Tag

Es geht darum zu prüfen, ob das AWP $\begin{eqnarray*} y'=\sqrt[3]{y^2} \end{eqnarray*}$ mit y(0)=0 eindeutig lösbar ist.

Einerseits könnte man diese recht umgängliche homogene DGL ja einfach lösen und sieht dann ja, dass es eine eindeutige Lösung gibt.

Da eine konkrete Lösung aber nicht unbedingt gefordert ist, dachte ich man könnte auch mit dem Nachweis der Lipschitz-Stetigkeit für eine DGL der Form y'=f(x,y(x)) arbeiten.

Mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt[3]{y^2}=(\sqrt[3]{y})^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0,y_1 \in (0,1) \end{eqnarray*}$ hab ich mal ein bisschen rumprobiert:
$\begin{eqnarray*} |f(x,y_0)-f(x,y_1)|=|(\sqrt[3]{y_0})^2-(\sqrt[3]{y_1})^2|=|(\sqrt[3]{y_0}+\sqrt[3]{y_1})\cdot(\sqrt[3]{y_0}-\sqrt[3]{y_1})| \leq 2 \cdot |\sqrt[3]{y_0}-\sqrt[3]{y_1}| \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich bisher nicht.
Kann mir jemand helfen ?

07.08.2024, 20:17

Helferlein

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RE: Eindeutigkeit bei AWP

Zitat:

Original von flake
Einerseits könnte man diese recht umgängliche homogene DGL ja einfach lösen und sieht dann ja, dass es eine eindeutige Lösung gibt.

Woher die Erkenntnis? Vielleicht liegt der Fehler schon darin eine falsche Aussage beweisen zu wollen. Augenzwinkern

08.08.2024, 09:24

flake

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Vielen Dank für deine Antwort. smile

Als Lösung des erwähnten AWP erhielt ich $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{x^3}{27} \end{eqnarray*}$ .
Kann es sein, dass diese Lösung nicht eindeutig ist, weil z.B. die konstante Funktion y(x)=0 die DGL ebenfalls für y(0)=0 löst oder wie ist da der Zusammenhang ?
Ändert man die Anfangsbedingung zu y(0)=1 würde y(x)=0 zumindest keine Lösung sein.

Oder ist die fehlende Differenzierbarkeit in x=0 hier ein Problem bei der Sache ?

Wenn man die Lipschitzungleichung mal äquivalent auf die Form $\begin{eqnarray*} |f_y(x,y)| \leq L \end{eqnarray*}$ bringt, um die nötige nach oben beschränkte Steigung zu verdeutlichen (ich hoffe das kann man so schreiben),
dann würde hier ja für $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt[3]{y^2} \end{eqnarray*}$ demnach $\begin{eqnarray*} |f_y(x,y)|=|\frac{2}{3 \cdot \sqrt[3]{y}}| \end{eqnarray*}$ folgen.
Ist dann y(0)=0 das Problem, weil sonst im Nenner Null stehen würde bzw. wenn y sich der Null nähert, die betragsmäßige Steigung unendlich, also unbeschränkt groß werden würde ?

08.08.2024, 15:05

HAL 9000

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Für beliebige $\begin{eqnarray*} -\infty\leq C_1\leq 0\leq C_2\leq \infty \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} y(x) = \begin{cases} \frac{\left(x-C_1\right)^3}{27} & \mbox{ für }x\leq C_1\\ 0 & \mbox{ für }C_1\leq x\leq C_2\\ \frac{\left(x-C_2\right)^3}{27} & \mbox{ für }x\geq C_2\end{cases} \end{eqnarray*}$

eine Lösung deines AWP auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Daher: Keine Eindeutigkeit. Augenzwinkern

08.08.2024, 23:27

mYthos

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Bitte um Klärung
Weshalb müssen hier 2 Konstanten eine Rolle spielen?
Abgesehen von der trivialen Lösung y(x) = 0 lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{(x+c)^3}{27}; \ c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
und darin y(0) = 0 eingesetzt führt zu c = 0, mithin sollte $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{x^3}{27} \end{eqnarray*}$ die (eine) Lösung des AWP sein.

Kann dies auch so stimmen?

mY+

09.08.2024, 07:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Weshalb müssen hier 2 Konstanten eine Rolle spielen?

Von "müssen" hat keiner gesprochen. Jedenfalls ist die von mir angegebene Funktion Lösung der DGL, und zwar für alle angegebenen Parameterkombinationen von $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ . Dabei soll $\begin{eqnarray*} C_1=-\infty \end{eqnarray*}$ bedeuten, dass der erste Zweig gar nicht zur Geltung kommt, entsprechend dann $\begin{eqnarray*} C_2=\infty \end{eqnarray*}$ , dass der dritte Zweig nicht vorkommt. In dem Sinne steht die Kombination $\begin{eqnarray*} C_1=-\infty,C_2=\infty \end{eqnarray*}$ für die Trivial-Lösung $\begin{eqnarray*} y(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Überzeuge dich davon, dass

a) diese Funktion überall differenzierbar ist,
b) die DGL erfüllt, und
c) den Anfangswert erfüllt.

Zitat:

Original von mYthos
Abgesehen von der trivialen Lösung y(x) = 0 lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{(x+c)^3}{27}; \ c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist nicht die allgemeine Lösung, sondern nur ein Teil davon: Nämlich der Spezialfall $\begin{eqnarray*} C_1=C_2=-c \end{eqnarray*}$ .

09.08.2024, 12:20

mYthos

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.. immer noch Erklärungsbedarf

Zitat:

Original von HAL 9000
...
Überzeuge dich davon, dass

a) diese Funktion überall differenzierbar ist,
b) die DGL erfüllt, und
c) den Anfangswert erfüllt.
...

a) b) sind klar, aber bei c) ist doch f(0)=0 nur dann erfüllt, wenn C1 = C2 = 0 ist.

Ich habe mal nachgesehen, wie WAlpha das rechnet:

[attach]57871[/attach] [attach]57870[/attach]

mY+

09.08.2024, 14:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
a) b) sind klar, aber bei c) ist doch f(0)=0 nur dann erfüllt, wenn C1 = C2 = 0 ist.

Anscheinend bist du immer noch nicht in der Lage, die abschnittsweise definierte Funktion

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} y(x) = \begin{cases} \frac{\left(x-C_1\right)^3}{27} & \mbox{ für }x\leq C_1\\ 0 & \mbox{ für }C_1\leq x\leq C_2\\ \frac{\left(x-C_2\right)^3}{27} & \mbox{ für }x\geq C_2\end{cases} \end{eqnarray*}$

richtig zu verstehen: Für Parameterkonstellation $\begin{eqnarray*} C_1\leq 0 \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig $\begin{eqnarray*} C_2\geq 0 \end{eqnarray*}$ liegt Argument $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ im zweiten Fall, und dort ist nun mal $\begin{eqnarray*} y(x)=0 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Hier mal als Beispiel ein Plot der Lösungsfunktion für die Parameterkonstellation $\begin{eqnarray*} C_1=-1,C_2=2 \end{eqnarray*}$ :

Die Ausgaben von Wolfram Alpha sollte man ebenso kritisch hinterfragen wie so manche KI-Auswürfe. Augenzwinkern

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Mal vom Kopf aus die Füße:

Betrachten wir die DGL $\begin{eqnarray*} y' = \sqrt[3]{y^2} \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert $\begin{eqnarray*} y\left(x_0\right) = y_0 \end{eqnarray*}$ zunächst für den Fall $\begin{eqnarray*} y_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann können wir lokal (d.h. in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ ) wie gewohnt umformen, also Trennung der Variablen mit Division etc., und kommen auf eine lokal gültige Lösung

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{\left(x-c\right)^3}{27} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = x_0-3\sqrt[3]{y_0} \end{eqnarray*}$ .

Wie weit weg von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist diese Lösung nun noch eindeutig gültig? Nun, solange das zugehörige $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das bedeutet:

a) Im Fall $\begin{eqnarray*} y_0>0 \end{eqnarray*}$ trifft das auf alle $\begin{eqnarray*} x>c \end{eqnarray*}$ zu, außerdem weiß man $\begin{eqnarray*} y\left(c\right) = 0 \end{eqnarray*}$ . Was nun vor $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ passiert, ist nicht eindeutig: Es kann sofort weitergehen mit $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{\left(x-c\right)^3}{27} \end{eqnarray*}$ , aber alternativ kann die Funktion auch zunächst erstmal weiter gleich Null bleiben!!!

b) Im Fall $\begin{eqnarray*} y_0<0 \end{eqnarray*}$ trifft das auf alle $\begin{eqnarray*} x<c \end{eqnarray*}$ zu, auch hier ist $\begin{eqnarray*} y\left(c\right) = 0 \end{eqnarray*}$ . Was nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ passiert, ist auch hier nicht eindeutig: Es kann sofort weitergehen mit $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{\left(x-c\right)^3}{27} \end{eqnarray*}$ , alternativ kann die Funktion zunächst erstmal weiter gleich Null bleiben.

Sowohl in a) als auch b) kann die Funktion im weiteren Verlauf Null bleiben, oder aber dann doch irgendwann in eine kubische Halbparabel übergehen (bei a) ins Negative, bei b) ins Positive).

Bleibt noch der Fall c) $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ :

Hier kann die Funktion sowohl nach links wie rechts noch eine Weile (oder immer) Null bleiben, und dann entsprechend übergehen zu den Halbparabeln $\begin{eqnarray*} \frac{\left(x-C_1\right)^3}{27} \end{eqnarray*}$ links bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\left(x-C_2\right)^3}{27} \end{eqnarray*}$ rechts.

P.S.: Picard-Lindelöf ist hier nicht anwendbar, da die Lipschitzbedingung bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in jeder Nullumgebung nicht erfüllt ist.

09.08.2024, 23:50

flake

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Vielen Dank für deine Antworten, HAL 9000 Gott

Insbesondere dein letzter Beitrag war für mich sehr anschaulich und aufschlussreich.

Zitat:

P.S.: Picard-Lindelöf ist hier nicht anwendbar, da die Lipschitzbedingung bzgl. y in jeder Nullumgebung nicht erfüllt ist.

Danke auch dafür, dass du damit auch auf meinen von Picard-Lindelöf motivierten Lipschitz-Ansatz in meinem ersten Beitrag eingegangen bist.

Das deckt sich alles dann auch mit dem von mir gerade zufällig entdeckten Vorgehen unter diesem Link (Folie 3-5) :

mathematik.uni-muenchen.de/~gerkmann/stdordn2011/mathe4/vl/vl25.pdf

Dort wird am Ende dann auch noch ein Widerspruch zur Begründung der Nichtanwendbarkeit von Lipschitzbegründungen vorgeführt.

Ist meine Schlussfolgerung korrekt, dass man bei dieser DGL nur dann eine eindeutige Lösung erhalten könnte, wenn man den Definitionsbereich geeignet einschränkt, d.h. z.B. x>0 fordern würde ?

10.08.2024, 01:23

mYthos

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@HAL, dein letzter Beitrag hat's gebracht. Danke!
smile

mY+

10.08.2024, 10:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von flake
Ist meine Schlussfolgerung korrekt, dass man bei dieser DGL nur dann eine eindeutige Lösung erhalten könnte, wenn man den Definitionsbereich geeignet einschränkt, d.h. z.B. x>0 fordern würde ?

Ja, allerdings in Abhängigkeit auch von $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ , siehe meine obigen Anmerkungen:

1) Ist $\begin{eqnarray*} y_0>0 \end{eqnarray*}$ , so hat das AWP mit $\begin{eqnarray*} y\left(x_0\right) = y_0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left[x_0-3\sqrt[3]{y_0},\infty\right) \end{eqnarray*}$ die eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{\left(x-x_0+3\sqrt[3]{y_0}\right)^3}{27} \end{eqnarray*}$ .

2) Ist $\begin{eqnarray*} y_0<0 \end{eqnarray*}$ , so hat das AWP mit $\begin{eqnarray*} y\left(x_0\right) = y_0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left(-\infty,x_0+3\sqrt[3]{-y_0}\right] \end{eqnarray*}$ die eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{\left(x-x_0-3\sqrt[3]{-y_0}\right)^3}{27} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ gibt es indes keine eindeutige Lösung, auf keinem noch so kleinen Intervall positiver Länge um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

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