Fundamentalsystem einer DGL

10.08.2024, 22:30	peachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsystem einer DGL Guten Tag Es geht um die DGL $\begin{eqnarray} \vec{y}'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \vec{y} \end{eqnarray}$ , von der ich ein Fundamentalsystem bestimmen muss. Die Eigenwerte sind wegen der Dreiecksform direkt ablesbar, wodurch sich $\begin{eqnarray} \lambda_1=1 \end{eqnarray}$ und der doppelte Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_2=3 \end{eqnarray}$ ergibt. Der Eigenraum zu $\begin{eqnarray} \lambda_2=3 \end{eqnarray}$ ist nur eindimensional und daher stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit nicht überein. Ich habe dadurch als möglichen Eigenvektor nur $\begin{eqnarray} \vec{v_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalten. Für das geforderte Fundamentalsystem benötige ich aber noch einen weiteren Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v_3} \end{eqnarray}$ . Wie könnte ich da vorgehen bzw. was wäre eine übliche Vorgehensweise ?
12.08.2024, 01:03	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Fundamentalsystem ist eine Menge von linear unabhängigen Lösungen des DGL-Systems. Die Vektoren sind dabei nur Mittel zum Zweck. Der dritte Vektor, den Du suchst, nennt sich Hauptvektor und ist als nächstes zu bestimmen. Falls Dir der Begriff nichts sagt, dann lies Dir das Kapitel über die Jordan-Normalform noch einmal gründlich durch.
12.08.2024, 09:24	peachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mit dem Hauptvektor-Hinweis zwei Möglichkeiten gefunden um an $\begin{eqnarray} \vec{v_3} \end{eqnarray}$ zu kommen: 1. Man löst das durch $\begin{eqnarray} (A-\lambda_2 \cdot E_3) \cdot \vec{v_3} =\vec{v_2} \end{eqnarray}$ entstehende LGS, wodurch ich auf $\begin{eqnarray} \vec{v_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kam. 2. Man bestimmt den Kern von $\begin{eqnarray} (A-\lambda_2 \cdot E_3)^2 \end{eqnarray}$ , wodurch ich auf dieselbe, mögliche Lösung für $\begin{eqnarray} \vec{v_3} \end{eqnarray}$ kam. Ist es somit egal mit welcher Methode man arbeitet ? Mir erscheint die 2. Methode wegen der Matrixpotenzierung aufwändiger zu sein, wodurch ich wohl immer die 1. Methode vorziehen würde. Stimmt es, dass sich das Fundamentalsystem also mit $\begin{eqnarray} \lambda_2=\lambda_3=3 \end{eqnarray}$ durch folgende Gleichung beschreiben lässt : $\begin{eqnarray} \vec{y}=c_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot x} \cdot \vec{v_1}+c_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot x} \cdot \vec{v_2}+c_3 \cdot e^{\lambda_3 \cdot x} \cdot ( \vec{v_2} \cdot x+\vec{v_3}) \end{eqnarray}$
14.08.2024, 00:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die späte Antwort, war heute ein wenig mehr eingespannt. Deine Lösung kann schon deshalb nicht stimmen, da $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ nicht gleichzeitig Eigenvektor und Hauptvektor sein kann. Entweder liegt ein Rechenfehler oder ein Schreibfehler vor, denn der tatsächliche Hauptvektor unterscheidet sich nicht großartig von deinem Vektor. Dann noch zur Frage des Fundamentalsystems: Lies Dir noch einmal durch, was ein Fundamentalsystem ist. Du hast am Ende eine allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems angegeben, aber das ist nicht dasselbe wie ein Fundamentalsystem.
14.08.2024, 00:34	peachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war tatsächlich ein unnötiger Schreib- bzw. Copy/Paste-Fehler. Es kommt natürlich $\begin{eqnarray} \vec{v_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus. Das Fundamentalsystem besteht aus den Basisvektoren $\begin{eqnarray} e^{\lambda_1 x} \cdot \vec{v_1},e^{\lambda_2 x} \cdot \vec{v_2} ~ \text{und} ~ e^{\lambda_3 x} \cdot (\vec{v_2} \cdot x + \vec{v_3}) \end{eqnarray}$ , welche den Lösungsraum aufspannen. Passt das nun soweit ?
14.08.2024, 00:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe keinen Fehler mehr, es sollte also jetzt stimmen.
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14.08.2024, 15:00	peachboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir, Helferlein.

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