Logarithmus

13.08.2024, 22:40

Bojosas

Logarithmus

Meine Frage:
Ordne die Zahlen 1000^1000, 1005^999, 1015^998 und 1025^997 durch Vergleich der Zehnerlogarithmen der Größe nach.

Meine Ideen:
Reicht es, wenn ich für jede Zahl folgendes berechne und dann vergleiche:

log10(1015^998) = 998xlog10(1015)?

Ist das so korrekt?
Danke

14.08.2024, 07:33

G140824

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RE: Logarithmus
1000^1000:
1000*lg1000 = 1000*3 = 3000, lg= log zur Basis 10

1015^998:
998*lg1015 = 3000,45311

1025^997:
997*lg1025 = 3001,69...

14.08.2024, 09:28

HAL 9000

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Eine Herausforderung ist das allenfalls, wenn man ohne technische Hilfsmittel wie TR oder Tafelwerk - also de facto per Kopfrechnen - die Reihenfolge entscheiden soll, etwa nur mit Kenntnis $\begin{eqnarray*} \ln(1+x)\approx x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|\ll 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \ln(10)\approx 2.3 \end{eqnarray*}$ :

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq k\ll 1000 \end{eqnarray*}$ haben wir dann

$\begin{eqnarray*} \lg\left((1000+k)^n\right) = n\lg\left(1000+k\right) = n\left(3+\lg\left(1+\frac{k}{1000}\right) \right) = n\left(3+\frac{1}{\ln(10)}\ln\left(1+\frac{k}{1000}\right) \right) \approx 3n+\frac{kn}{2300} \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \lg\left(1000^{1000}\right) = 3000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg\left(1005^{999}\right) \approx 2997 + \frac{4995}{2300}\approx 2999.2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg\left(1015^{998}\right) \approx 2994 + \frac{14970}{2300}\approx 3000.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg\left(1025^{997}\right) \approx 2991 + \frac{24925}{2300}\approx 3001.8 \end{eqnarray*}$ .

Genauer könnte man argumentieren mittels $\begin{eqnarray*} x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

14.08.2024, 14:58

duschkopf

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Zitat:

Reicht es, wenn ich für jede Zahl folgendes berechne und dann vergleiche:

log10(1015^998) = 998xlog10(1015)?

Um mal konkret auf deine Frage einzugehen:

Wenn das eine Aufgabe aus dem normalen Schulunterricht ist, dann könnte ich mir vorstellen, dass das in der Tat so gewollt ist.
Vermutlich sollte damit gezeigt werden, dass Zahlen irgendwann so groß werden können, dass sie mit normalen Taschenrechnern nicht mehr angezeigt werden.
Um dann trotzdem zumindest einen Größenvergleich bei solchen Potenzen zu erzwingen, könnte man dann Logarithmen zur Hilfe nehmen, so wie du es getan hast.
Ich hoffe ihr sprecht im Unterricht auch noch kurz darüber, warum man das einfach "ungestraft" so machen darf.

Etwas stutzig könnte man bei der Aufgabenstellung werden, wenn man die Aufforderung der Nutzung von Logarithmen zur Basis 10 hinterfragt, denn die Wahl der Basis ist für das Ausrechnen per Taschenrechner völlig egal.

Soll also wirklich ohne Hilfsmittel gearbeitet werden, dann halte dich z.B. an die Lösung von HAL 9000.

Einem Schüler würde ich mit etwas Hilfestellung/Anleitung sogar zutrauen, dass man solche Gedanken hat wie:

$\begin{eqnarray*} log_{10}(1005^{999})=999 \cdot log_{10}(1000+5)=999 \cdot log_{10}(1000 \cdot (1+\frac{5}{1000}))=999 \cdot log_{10}(1000)+999 \cdot log_{10}(1+\frac{5}{1000}) \end{eqnarray*}$

Der Problemterm wäre jetzt ja nur noch $\begin{eqnarray*} log_{10}(1+\frac{5}{1000}) \end{eqnarray*}$ .

Eine kurze Nachfrage hätte ich an HAL 9000:

Warum reicht es hier offenbar nicht aus, dass man einfach $\begin{eqnarray*} log_{10}(1+\frac{5}{1000}) \approx \frac{5}{1000} \end{eqnarray*}$ nutzt, sondern noch einen Basiswechsel auf die von dir beispielhaft genutzte Basis e mit einbezieht ?
Ist die Näherung sonst einfach zu "schwach" ?

14.08.2024, 16:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von duschkopf
Warum reicht es hier offenbar nicht aus, dass man einfach $\begin{eqnarray*} log_{10}(1+\frac{5}{1000}) \approx \frac{5}{1000} \end{eqnarray*}$ nutzt, sondern noch einen Basiswechsel auf die von dir beispielhaft genutzte Basis e mit einbezieht ?

Weil das grob ungenau wäre! $\begin{eqnarray*} \log_b(1+x)\approx x \end{eqnarray*}$ ist nur für betragsmäßig kleine $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sowie Basis $\begin{eqnarray*} b=e \end{eqnarray*}$ eine passable erste Näherung. Rechne doch mal aus (auf 6 Nachkommastellen):

$\begin{eqnarray*} \lg(1.005) = 0.002166 \end{eqnarray*}$

Liegt das nun näher an 0.005 oder doch eher an $\begin{eqnarray*} \frac{0.005}{\ln(10)} = 0,002171 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

P.S.: Im vorliegenden Fall würde die Anwendung der schlechten Näherung $\begin{eqnarray*} \lg(1+x)\approx x \end{eqnarray*}$ zu einer falschen Reihung führen!!!

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