Wachstumsgesetz / Ableitung mithilfe Exponentialfunktion

14.08.2024, 08:58	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Wachstumsgesetz / Ableitung mithilfe Exponentialfunktion Meine Frage: Aus May, S. 462, Problem 10) Es gelten folgende Zusammenhänge: $\begin{eqnarray} \frac{Df(x)}{(fx) (1- \frac{f(x)}{Y}) } = k \end{eqnarray}$ , wobei der linke Gleichungsterm der Ableitung von $\begin{eqnarray} - ln ( 1 - \frac{Y}{f(x)}) \end{eqnarray}$ entspricht. Das kann ich unter Anwendung des Zusammenhangs D ln(x) = 1/x und der Kettenregel mühelos (...naja...) auch zeigen. Nun soll sich - angeblich - daraus als Lösung für f(x) bzw. y ergeben: $\begin{eqnarray} y = Y (1 +ce^{-kx}) ^{-1} \end{eqnarray}$ . Wobei angeblich $\begin{eqnarray} c = \frac{(Y - y_{0}) }{y_{0} } \end{eqnarray}$ . Ich komme nicht auf diese Schlussfolgerung, d.h. mir fehlen die Zwischenschritte.... Meine Ideen:* Ich kenne das "Wachstumsgesetz", nämlich $\begin{eqnarray} Df = k f \Rightarrow f(x) = f(0) e^{kx} \end{eqnarray}$ Wenn ich $\begin{eqnarray} \frac{Df(x)}{(fx) (1- \frac{f(x)}{Y}) } = k \end{eqnarray}$ umforme, komme ich zwar auf $\begin{eqnarray} D f(x) = \left(f(x) - \frac{f(x)^{2} }{Y} \right) k \end{eqnarray}$ , was dem o.a. Gesetz ein bisschen entspricht, wenn $\begin{eqnarray} f = \left(f(x) - \frac{f(x)^{2} }{Y} \right) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} y_{0} = f (x_{0}) \end{eqnarray}$ eingesetzt ergibt dann bei mir $\begin{eqnarray} f(x) = \left(y_{0} - \frac{y_{0} ^{2} } {Y} \right) e^{kx} \end{eqnarray}$ , was ein wenig an die vorgegebene Lösung erinnert, aber eben nur "ein wenig"..... Und den tollen Zusammenhang zu der Ableitung des natürlichen Logarithmus brauche ich überhaupt nicht...oder doch?
14.08.2024, 14:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Symbolik mit deinem $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ ist mir weniger vertraut. Tatsächlich ergibt $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{f(x)\left(1- \frac{f(x)}{Y}\right)} = k \end{eqnarray}$ oder anders geschrieben $\begin{eqnarray} \frac{\dd f(x)}{f(x)\left(1- \frac{f(x)}{Y}\right)} = k~ \dd x \end{eqnarray}$ integriert $\begin{eqnarray} -\ln\left\|1 - \frac{Y}{f(x)}\right\| = kx+ C_1 \end{eqnarray}$ , was man dann (unter Reparametrierung $\begin{eqnarray} c=\mp e^{-C_1} \end{eqnarray}$ der Integrationskonstanten) umformen kann zu $\begin{eqnarray} 1 - \frac{Y}{f(x)} = -c\cdot e^{-kx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{Y}{f(x)} = 1 + c\cdot e^{-kx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = Y\cdot \left(1 + c\cdot e^{-kx}\right)^{-1} \end{eqnarray}$ . Aus einer Anfangswertbedingung $\begin{eqnarray} f(0)=y_0 \end{eqnarray}$ folgt dann eingesetzt und umgeformt in der Tat $\begin{eqnarray} c = \frac{Y}{y_0}-1 \end{eqnarray}$ .
15.08.2024, 08:51	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Dank Dir! Der Hinweis mit der Reparametrierung war tatsächlich der Entscheidende, das fehlende Glied in der Kette. Ich denke ich muss da nochmals ran und mich mit der Exponentialfunktion intensiver beschäftigen. Der Rest ist mir dann klar. Gruß

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