Faktor aus Summe ziehen

14.08.2024, 14:40

Statista

Faktor aus Summe ziehen

Meine Frage:
Ich habe in einem wissenschaftlichen Paper den Beweis im Anhang gefunden. Leider verstehe ich im angegeben Fall das $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ nicht.

Genauer: Wieso kann man hier einfach $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{d} \begin{pmatrix} d \\ j \end{pmatrix}(2q(1-q))^{d-j} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

Meine Ideen:
Widerspricht das nicht den Rechenregeln für Summen?

14.08.2024, 15:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Statista
Genauer: Wieso kann man hier einfach $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^d \binom{d}{j} (2q(1-q))^{d-j} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

Warum nicht? Alles durch $\begin{eqnarray*} q(1-q)\binom{2d}{d} \end{eqnarray*}$ dividieren, alles auf die linke Seite bringen und dann schauen, was im Summanden übrig bleibt. Deine Überschrift scheint mir nicht ganz passend: Es ist ja eher so, dass die Faktoren in die Summe hineingezogen werden, und dann die beiden Summen als eine geschrieben werden durch Vereinigung der Summanden.

Das ganze ist ja auch noch nicht Ende Fahnenstange der Vereinfachungen, die Summe lässt sich mit Binomischem Satz $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^d \binom{d}{j} a^{d-j} b^j = (a+b)^d \end{eqnarray*}$ noch loswerden - aber darum geht es ja evtl. im weiteren Text... smile

Es ist dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^d \binom{d}{j} \left(2q(1-q)\right)^{d-j} \left[ \pi(1-q)^{2j} q^{2d} - (1-\pi)q^{2j} (1-q)^{2d} \right] = \pi \left[2q(1-q)+(1-q)^2\right]^d q^{2d} - (1-\pi) \left[2q(1-q)+q^2\right]^d (1-q)^{2d} = \pi (1+q)^d (1-q)^d q^{2d} - (1-\pi) (2-q)^d q^d (1-q)^{2d} \end{eqnarray*}$

Dividiert durch $\begin{eqnarray*} (1-q)^d q^d \end{eqnarray*}$ ist dann die Originalgleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \pi (1+q)^d q^d - (1-\pi) (2-q)^d (1-q)^d > 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left( \frac{(1+q)q}{(2-q)(1-q)} \right)^d > \frac{1}{\pi}-1 \end{eqnarray*}$ .

Anscheinend ist mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ hier nicht die Kreiszahl gemeint, ansonsten wäre für die hier wohl geltenden $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ diese Ungleichung trivialerweise erfüllt. Augenzwinkern

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