Integration mit Vektorfeld

14.08.2024, 19:49

friese

Integration mit Vektorfeld

Guten Abend

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} A=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb R ^3 ~| ~ z=6-3 \cdot \sqrt{x^2+y^2} ~ \text{und} ~ z \geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ und das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{F}=\begin{pmatrix} xz-y \\ x-yz \\ xyz-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu bestimmen ist das Integral $\begin{eqnarray*} \int \int_A~rot(\vec{F})~dS \end{eqnarray*}$

Als Rotation erhalte ich schon mal $\begin{eqnarray*} rot(\vec{F})=\begin{pmatrix} xz+y \\ x-yz \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , ist das korrekt ?

Muss ich danach dann eine Parametrisierung der durch A umrandeten Fläche finden und damit dann einen entsprechenden Normalenvektor ermitteln ?

15.08.2024, 10:01

HAL 9000

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Die Rotation ist korrekt.

Als Parametrierung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ anbieten würden sich Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\varphi),y=r\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\pi < \varphi\leq \pi \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} 0\leq \varphi<2\pi \end{eqnarray*}$ , falls dir das besser gefällt), dann ist $\begin{eqnarray*} z=6-3r \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y,z)\in A \end{eqnarray*}$ .

16.08.2024, 09:49

friese

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Vielen Dank für die Antwort.

Das bedeutet also für diese Parametrisierung p, würde man dann mit $\begin{eqnarray*} \vec{p_r} \times \vec{p_{\varphi}}=\begin{pmatrix} cos(\varphi) \\ sin(\varphi) \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -r \cdot sin(\varphi) \\ r \cdot cos(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3r \cdot cos(\varphi) \\ 3r \cdot sin(\varphi) \\ r \end{pmatrix}=\vec{n} \end{eqnarray*}$ einen passenden Normalenvektor bestimmen, um dann das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{2 \pi}\int_0^{2}~\begin{pmatrix} xz+y \\ x-yz \\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 3r \cdot cos(\varphi) \\ 3r \cdot sin(\varphi) \\ r \end{pmatrix} ~ dr ~ d\varphi=\int_0^{2 \pi}\int_0^{2}~\begin{pmatrix} -3r \cdot cos(\varphi)+r \cdot sin(\varphi) \\ r \cdot cos(\varphi)+3 r \cdot sin(\varphi)\\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 3r \cdot cos(\varphi) \\ 3r \cdot sin(\varphi) \\ r \end{pmatrix} ~ dr ~ d\varphi \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Habe ich das richtig verstanden oder ist irgendwas falsch ?

16.08.2024, 10:05

friese

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Korrektur (ich habe auf das falsche z geguckt) :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2 \pi}\int_0^{2}~\begin{pmatrix} xz+y \\ x-yz \\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 3r \cdot cos(\varphi) \\ 3r \cdot sin(\varphi) \\ r \end{pmatrix} ~ dr ~ d\varphi=\int_0^{2 \pi}\int_0^{2}~\begin{pmatrix} r \cdot cos(\varphi) \cdot (6-3r)+r \cdot sin(\varphi) \\ r \cdot cos(\varphi)-r \cdot sin(\varphi) \cdot (6-3r)\\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 3r \cdot cos(\varphi) \\ 3r \cdot sin(\varphi) \\ r \end{pmatrix} ~ dr ~ d\varphi \end{eqnarray*}$

Das macht es aber eher noch gruseliger, ich hoffe das kann man nach einigem Zusammenfassen noch einigermaßen bändigen.

16.08.2024, 10:33

HAL 9000

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Soweit ich das erkenne, ist der Integrand unter Einbeziehung der Doppelwinkel-Additionstheoreme gleich $\begin{eqnarray*} 3r^2\cos(2\varphi)(6-2r) + 3r^2\sin(2\varphi) + 2r \end{eqnarray*}$ .

Da kann ich mir weit schlimmeres vorstellen. Augenzwinkern

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