Artikel Tensorprodukt Wikipedia

14.08.2024, 19:52	mm96	Auf diesen Beitrag antworten »
Artikel Tensorprodukt Wikipedia Meine Frage: Hallo zusammen, ich arbeite gerade den Wikipediaartikel zum Thema "Tensorprodukt" durch und bin da auf ein paar Verständnisprobleme gestoßen (https://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt): 1. Bild1 Ich hoff, das ist nur ein Tippfehler und kein Verständnisproblem meinerseits: Ich hätte gesagt, die Formel im Abschnitt 1.1.2 muss $\begin{eqnarray} T^r_s(V) = L^{r+s}(\underbrace{V\times \cdots\times V}_\text{r Mal}\times \underbrace{V^\times\cdots\times V^}_\text{s Mal}) \end{eqnarray}$ heißen, also mit verschobenen Sternen im Vergleich zum Original. 2. Stufe von Tensoren Wenn der Tensor $\begin{eqnarray} T^r_s \end{eqnarray}$ wie oben die Stufe r+s hat, dann müsste zum Beispiel eine Drehung, die einen Vektor im $\begin{eqnarray} \mathbb R³ \end{eqnarray}$ auf einen anderen Vektor abbildet, die Stufe 1 haben. Allerdings wird solch eine Drehung ja auch durch die Drehmatrix vermittelt und als zweifach indiziertes Objekt würde diese die Stufe 2 ergeben. Hier bin ich verwirrt. In die gleiche Richtung geht die Anmerkung 4 (Bild 3). Hier wird eine Zahl als einstufiger Tensor bezeichnet, weil sie eine Eingangsvariable akzeptiert. Andererseits hat eine Zahl keinen Index und wäre deshalb ein Tensor nullter Stufe. 3. Bild 2 Schließlich habe ich noch ein Verständnisproblem mit dem Schluss dieses Absatzes, bei der Formel $\begin{eqnarray} f:V\xrightarrow{\underset{\sim}{\phi}}K^n\xrightarrow{\tilde{f}}W \end{eqnarray}$ . Angenommen, ich habe eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^3\longrightarrow\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit f(x) = kx, k als reelle Zahl. Dann könnte ich statt f auch zuerst die Koordinatenabbildung ausführen mit $\begin{eqnarray} \phi(x)=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und im Anschluss daran diesen Vektor mit der Zahl k multiplizieren (das wäre die Abbildung $\begin{eqnarray} \tilde{f} \end{eqnarray}$ ). Meine Frage wäre hier jetzt: Man kann ja jede lineare Abbildung z. B. durch ein Zahlenschema wie z. B. eine Matrix darstellen. Ich lese hier die Aussage raus, dass die Abbildung phi dieses Zahlenschema liefert und man dann nur noch eine lineare Rechnung mit diesem Schema zu machen hat, anstatt die gesamte multilineare Funktion auszuwerten. Das ist aber nicht das, was in meinem Beispiel herauskam, denn dann hätte ich keine Spaltenvektordarstellung von x gebraucht, sondern im Tensorproduktraum einfach die Zahl k als Tensor nullter Stufe gefunden, mit dem ich den Vektor x multiplizieren kann. Vielleicht könnt Ihr mir hier auch den Denkfehler aufzeigen. Viele Grüße und schonmal Danke! Meine Ideen:
15.08.2024, 20:15	mm96	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, zu 1. hab ich jetzt glaub die Antwort gefunden: Wenn ich einen Tensor der Stufe (0,1) betrachte, dann ist er eine Linearform, in der Schreibweise vom Artikel: $\begin{eqnarray} T^0_1(V) = L^1(V;K) = V^ \end{eqnarray}$ In gleicher Weise lassen sich die kontravarianten Beiträge mit V schreiben, da diese dann (Multi)Linearformen von V* nach K beschreiben, da man V** mit V identifizieren kann. Es lag also (wie zu erwarten war) an meinem falschen Verständnis. Viele Grüße PS: Im ursprünglichen Beitrag fehlt bei L^r+s der Körper K in der Klammer.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »