Adjazente Ecken

15.08.2024, 11:35

Pinahoo2006

Adjazente Ecken

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\0\\0\\0\end{pmatrix} \in \mathbb R ^6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 3 \\4\\0\\6\end{pmatrix} \in \mathbb R ^6 \end{eqnarray*}$ Ecken eines Polyeders.
Können diese adjazent sein?

Meine Ideen:
Ich lerne gerade für eine Klausur und bin bei dieser Probeaufgabe. Ich konnte nirgends in meinen Aufzeichnungen und auch nicht im Internet finden, wie ich prüfe, ob zwei Ecken adjazent sind.
Ich wäre über Hinweise sehr dankbarer!

15.08.2024, 11:40

IfindU

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RE: Adjazente Ecken
Was heißt denn "Adjazente Ecken"? Ob diese mit einer Kante verbunden sind?

Wenn du mehr Ecken gegeben hast, könnte man überprüfen, ob der Mittelpunkt zwischen den Ecken im Polyeder (inneren der konvexen Hülle der Ecken) liegt. Bei 2 Ecken? Mir fehlt die Phantasie wie man daraus nicht ein Polyeder bauen kann, so dass diese adjazent wären.

15.08.2024, 11:59

Pinahoo2006

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RE: Adjazente Ecken
Die Definition an sich kenne ich. Aber mir war bzw. ist einfach nicht klar, wie ich das überprüfe.

Es geht ja auch nicht darum, dass die Ecken adjazent sind, sondern ob sie es im einem Polyeder im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^6 \end{eqnarray*}$ seien können.

Da muss es doch irgendwie die Möglichkeit geben das genauer sagen zu können.

15.08.2024, 12:01

HAL 9000

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RE: Adjazente Ecken

Zitat:

Original von IfindU
ob der Mittelpunkt zwischen den Ecken im Polyeder (inneren der konvexen Hülle der Ecken) liegt.

Wenn er im Inneren liegt, dann ist das aber nur hinreichend dafür, dass die beiden Punkte nicht adjazent sind.

Es kann durchaus sein, dass die gesamte Wegstrecke auf dem Rand verläuft, die Punkte aber dennoch nicht adjazent sind - Beispiel im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ : Würfel in "üblicher" Beschriftung ABCDEFGH, und dort die Punkte A und C. verwirrt

Zumindest für konvexe Polyeder hätte ich eine vage Idee, wie man Eckenadjazenz anhand einer geeigneten Polyederbeschreibung feststellen kann.

15.08.2024, 12:07

IfindU

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RE: Adjazente Ecken

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von IfindU
ob der Mittelpunkt zwischen den Ecken im Polyeder (inneren der konvexen Hülle der Ecken) liegt.

Wenn er im Inneren liegt, dann ist das aber nur hinreichend dafür, dass die beiden Punkte nicht adjazent sind.

Stimmt, danke für den Einwurf. Freude

15.08.2024, 12:14

Pinahoo2006

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RE: Adjazente Ecken
Also ist es möglich, dass die gegebenen Ecken adjazent sind?

In der Probeklausur ist es die erste Aufgabe und auch nur mit einem Punkt belegt. Dürfte also eigentlich nicht allzu aufwändig sein.

15.08.2024, 12:28

IfindU

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RE: Adjazente Ecken
"Natürlich" können die adjazent sein. Für einen Punkt würde ich entweder nur behaupten, oder du kannst einen konstruieren und behaupten dort sind die adjazent.

Ganz allgemein kann man es so konstruieren: Nach Translation, Skalierung und Rotation sind oBdA die beiden Punkte $\begin{eqnarray*} (0,0,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_1 = (1,0,0,0,0,0). \end{eqnarray*}$ . Dann kann man als weitere Ecken $\begin{eqnarray*} e_2, e_3, e_4, e_5, e_6 \end{eqnarray*}$ nehmen.

Wie man es "schnell" macht ohne sich die ganze Arbeit oben zu machen. Ich überlege ob man nicht einfach jede Menge Ecken nimmt, wo die 3.te Komponente immer echt kleiner 3 ist. Ob das ausreicht? verwirrt

15.08.2024, 13:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Wie man es "schnell" macht ohne sich die ganze Arbeit oben zu machen.

Darüber würde ich mir erst Gedanken machen, wenn wirklich konkret die Angabe eines solchen Polyeders gefordert wird - sieht oben nicht so aus. Die Anschauung kann einem im sechsdimensionalen nämlich leicht einen Streich spielen. Augenzwinkern

Das hier

Zitat:

Original von IfindU
Ganz allgemein kann man es so konstruieren: Nach Translation, Skalierung und Rotation sind oBdA die beiden Punkte $\begin{eqnarray*} (0,0,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_1 = (1,0,0,0,0,0). \end{eqnarray*}$ . Dann kann man als weitere Ecken $\begin{eqnarray*} e_2, e_3, e_4, e_5, e_6 \end{eqnarray*}$ nehmen.

ist grundsolide, wenn auch in der konkreten Ausführung dann doch aufwändiger.

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