Kurvenlänge

15.08.2024, 21:25	dynamit	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenlänge Hallo Es geht um die Länge der durch x(t)=t-sin(t) und y(t)=1-cos(t) parametrisierten Kurve im Intervall $\begin{eqnarray} [-\pi ~, ~\pi] \end{eqnarray}$ Wenn ich richtig gerechnet habe, dann entsteht eingesetzt in die entsprechende Integralformel $\begin{eqnarray} \int_a^b~\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}~dt \end{eqnarray}$ somit: $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \cdot \int_{- \pi}^{\pi}~\sqrt{1-cos(t)}~dt \end{eqnarray}$ Der Integrand sieht in der Form nicht besonders einladend aus, daher kamen mir 2 Umformungsideen: $\begin{eqnarray} 1) ~ \sqrt{1-cos(t)}=\frac{\sqrt{1-cos(t)} \cdot \sqrt{1+cos(t)}}{\sqrt{1+cos(t)}}=\frac{\sqrt{1-cos^2(t)}}{\sqrt{1+cos(t)}}=\frac{\sqrt{sin^2(t)}}{\sqrt{1+cos(t)}}=\frac{\|sin(t)\|}{\sqrt{1+cos(t)}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2) ~ \sqrt{1-cos(t)}=\sqrt{1-(cos^2(\frac{t}{2})-sin^2(\frac{t}{2}))}=\sqrt{1-(1-sin^2(\frac{t}{2})-sin^2(\frac{t}{2}))}=\sqrt{2 \cdot sin^2(\frac{t}{2})}=\sqrt{2} \cdot \|sin(\frac{t}{2})\| \end{eqnarray}$ Bei der ersten Variante muss man wegen dem obigen Intervall noch $\begin{eqnarray} t \neq \pm \pi \end{eqnarray}$ fordern, um keine Nullstellen im Nenner zu erhalten. Wenn ich nicht irre, dann führt der Betrag in beiden Varianten für das obige Intervall zu Fallunterscheidungen. Nutzt man jedoch $\begin{eqnarray} f(t)=\sqrt{1-cos(t)}=\sqrt{1-cos(-t)}=f(-t) \end{eqnarray}$ , dann sollte man ja problemlos auch mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \int_{0}^{\pi}~\sqrt{1-cos(t)}~dt \end{eqnarray}$ arbeiten können, wodurch für $\begin{eqnarray} [0~, ~\pi] \end{eqnarray}$ dann auch \|sin(t)\|=sin(t) bzw. \|sin(t/2)\|=sin(t/2) gilt. Insgesamt würde ich dann entweder das Integral $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \lim_{b \to \pi} ~ \int_0^{b}~\frac{sin(t)}{\sqrt{1+cos(t)}}~dt \end{eqnarray}$ mittels Substitution z=1+cos(t) oder alternativ das Integral $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \cdot 2 \cdot ~ \int_0^{\pi}~\sqrt{2} \cdot sin(\frac{t}{2})~dt \end{eqnarray}$ lösen. Kann da vielleicht jemand mal drüberschauen und meine Ausführungen auf mögliche Fehler untersuchen ?
15.08.2024, 22:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Paßt. Alle Klippen sorgfältig umschifft. Und beide Wege liefern auch noch denselben Wert...
15.08.2024, 23:39	dynamit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bedanke mich recht herzlich für die schnelle Antwort. Der Integralwert und damit die geforderte Kurvenlänge lautet bei mir 8, ich hoffe auch das stimmt soweit. Sind das so die üblichen Vorgehensweisen, die man hier benutzt oder habe ich mir das Leben unnötig schwer gemacht ? Ich hatte auch noch an eine Möglichkeit über die Potenzreihe vom Kosinus gedacht, aber das scheint mir wegen der Wurzel nicht zielführend zu sein.
16.08.2024, 09:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
8 ist richtig für diese Zykloide mit Kreisradius 1.

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