Quader in Kugel

17.08.2024, 20:15	bananeee	Auf diesen Beitrag antworten »
Quader in Kugel Guten Abend Diese Aufgabe ist sicherlich ein alter Hut, aber ich habe sie zumindest nicht auf die Schnelle samt Lösungsweg ergoogeln können. Es geht darum den Quader mit maximalem Volumen unter allen Quadern mit Eckpunkten auf der Einheitssphäre S zu bestimmen. Ich nenne mal die drei Seitenlängen beim Quader a,b und c und definiere mutig, dass a,b,c >0 gelten soll. Da das Quadervolumen maximal werden soll, ergibt sich $\begin{eqnarray} V(a,b,c)=abc \end{eqnarray}$ Zudem sollte nach meiner hoffentlich richtigen räumlichen Vorstellung die Länge der Raumdiagonalen d des Quaders dem Kugeldurchmesser 2 entsprechen, wodurch nach Pythagoras a²+b²+c²=4 als Nebenbedingung gilt. Nun habe ich bisher an zwei mögliche Lösungswege gedacht: $\begin{eqnarray} 1) \ ~ L(a,b,c,\lambda)=abc+\lambda \cdot (a^2+b^2+c^2-4) \end{eqnarray}$ -----> Lagrangefunktion maximieren $\begin{eqnarray} 2) \ ~ V^2=f(a,b)=a^2b^2(4-a^2-b^2) \end{eqnarray}$ ----> quadrierte Volumenfunktion maximieren um Wurzeln zu vermeiden Stimmen meine Gedanken und Ansätze bisher zur Lösung dieser Extremwertaufgabe ? Ich erhalte $\begin{eqnarray} a=b=c=\frac{2}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} V_{max}=\frac{8}{9} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray}$ In der Kontroll-Lösung steht jedoch $\begin{eqnarray} V_{max}=\frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray}$
18.08.2024, 08:06	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quader in Kugel Guten Morgen, deine Lösung ist korrekt. (Auch Kontrolllösungen können Tippfehler enthalten)
18.08.2024, 10:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quader in Kugel Wenn man die Einheitssphäre durch "Durchmesser gleich 1" statt "Radius gleich 1" definiert, so stimmt die Musterlösung. Auch wenn ich so eine Definition noch nicht gesehen habe und ich mich deswegen auch eher deiner Lösung anschließe.
18.08.2024, 18:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere mögliche Lösung geht über die gute alte AMGM-Ungleichung: Es ist $\begin{eqnarray} V^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3} = \frac{2^2}{3} \end{eqnarray}$ mit Gleichheit genau dann wenn $\begin{eqnarray} a=b=c \end{eqnarray}$ , was dann der Würfelkantenlänge $\begin{eqnarray} \frac{2}{\sqrt{3}}= \frac{2}{3}\sqrt{3} \end{eqnarray}$ entspricht.
18.08.2024, 21:52	bananeee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank für eure Antworten. Erstaunlich auch wieder mal zu sehen wie mächtig diese Mittelwert-Ungleichung bei passenden Problemen sein kann.

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