Man beweise oder widerlege folgendes Integraltheorem

Neue Frage »

18.08.2024, 21:26	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Man beweise oder widerlege folgendes Integraltheorem Ausgehend davon, daß das Integral $\begin{eqnarray} I=\int_{-\infty}^{\infty } \! f(x) \dd x \end{eqnarray}$ existiert. Dann beweise oder widerlege man folgendes Theorem: $\begin{eqnarray} 0=\int_{-\infty}^{\infty } \! \frac{f'(x)}x \dd x \end{eqnarray}$
18.08.2024, 21:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Man beweise oder widerlege folgendes Integraltheorem Die Aussage ist so falsch, dass ich auf die Schnelle kein nicht-triviales Beispiel finde, wo die Folgerung stimmt.
18.08.2024, 22:00	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Man beweise oder widerlege folgendes Integraltheorem Kannst du mir wenigstens erklären, wie du darauf kommst, daß die Aussage falsch sei?
18.08.2024, 22:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte zum Beispiel $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}x^2 ~wenn-a<x<a<br /> 0 ~sonst\end{cases} \end{eqnarray}$ Die Funktion ist an zwei Stellen unstetig und damit auch nicht differenzierbar, dient aber auch nur als Anregung, wie Du ein Gegenbeispiel konstruieren könntest. Ifindu hat ja schon darauf hingewiesen, dass es davon ziemlich viele gibt.
18.08.2024, 22:56	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreck laß nach! Ich habe mir vorgestellt, daß die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ über ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar sein soll. Leider habe ich nicht genau gewußt, wie wichtig das ist, und wie man das am besten formuliert. Deswegen habe ich das weggelassen. Aber wäre irgend jemand in der Lage, ein Gegenbeispiel zu meinem Theorem für diesen Fall zu finden?
18.08.2024, 23:29	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Um weiteren schrägen Beispielen vorzubeugen, stelle ich mir außerdem vor, daß zusätzlich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ gelten soll.
Anzeige

19.08.2024, 08:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, du kannst natürlich durch immer neue Bedingungen (die die vorherigen Gegenbeispiele ungültig machen) versuchen, das tote Pferd wieder zu beleben. Mal sehen, was du gegen das Beispiel $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray}$ einzuwenden hast: Das ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, sie ist beliebig oft differenzierbar und erfüllt auch $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Ihre Ableitung ist $\begin{eqnarray} f'(x) = -x\cdot f(x) \end{eqnarray}$ , so dass wir $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) ~ \dd x = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{f'(x)}{x} ~ \dd x = -\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) ~ \dd x = -1\neq 0 \end{eqnarray}$ bekommen. Vielleicht erzählst du ja mal, welche Funktionen dich dazu bewogen haben, diese Behauptung aufzustellen - womöglich gilt sie ja auch unter zusätzlichen, bisher nicht genannten Voraussetzungen.
19.08.2024, 12:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL Genau daran habe ich auch gedacht. Ein Argument warum es viel mehr Gegenbeispiele als Beispiele gibt: Die erste Bedingung ist translationsinvariant. D.h. jedes $\begin{eqnarray} f_c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_c(x) = f(x+c) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ erfüllt die erste Bedingung. Und es übersetzt sich dann dazu dass $\begin{eqnarray} 0 =\int \frac {f'_c(x)}{x} dx =\int \frac {f'(x)}{x-c} dx \end{eqnarray}$ sein soll. Wenn $\begin{eqnarray} f' \neq 0 \end{eqnarray}$ ist, wird das Intengral nur für endlich viele $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ existieren und für die anderen überabzählbar-viele divergieren. Und selbst die Handvoll von $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ Werten, ist noch nicht klar ob der Wert irgendwann 0 wird.
19.08.2024, 12:35	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL! Ich finde dein Gegenbeispiel große Klasse. Jetzt muß ich einsehen, daß ich irgendwie Mist gebaut habe. Ich bin nämlich von Glassers Theorem ausgegangen. Es lautet: $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f\left(x-\frac ax\right) \dd x =\int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \dd x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ Das leite ich nach a ab: $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd a} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f\left(x-\frac ax\right) \dd x =\frac{\dd}{\dd a} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \dd x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! \frac{\partial}{\partial a} f\left(x-\frac ax\right) \dd x =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } -\frac{1}{x}\, f'\left(x-\frac ax\right) \dd x =0\quad \end{eqnarray}$ und hier nur noch $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ setzen. Und das liefert für mein Rätsel: $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! \frac{f'(x)}x \dd x =0 \end{eqnarray}$ Ab hier habe ich mich gefragt, ob ich etwas entdeckt habe, was vielleicht nicht neu ist, wollte aber wissen, als was das bekannt ist. Dann habe ich gedacht, dann stelle ich das mal als Rätsel hier ein und falls es falsch sein sollte, wird man es mir schon sagen. Ich höre mir ja gerne auf youtube Mathe-Videos an, vor allen Dingen, wenn sie von Michael Penn oder von Maths 505 stammen. Ich gjaube jedes mal, viel dabei zu lernen. Hier muß ich aber feststellen, das ich nur ein paar kleine Schritte selbst machen muß um hinzufallen und mich wie ein Kleinkind dabei zu fühlen. Was um Himmels Willen habe ich in meiner Rechnung falsch gemacht? Kann mir das einer verraten?
19.08.2024, 12:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast übrigens bei der Gleichung von Glasser's Theorem was entscheidendes vergessen: Die Integrale sind im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes zu verstehen, so ist es hier auch deutlich kommuniziert: Z.B. $\begin{eqnarray} \int\limits_{-1}^1 \frac{1}{x} ~ \dd x \end{eqnarray}$ ist nicht definiert, als Cauchyscher Hauptwert $\begin{eqnarray} PV\int\limits_{-1}^1 \frac{1}{x} ~ \dd x = 0 \end{eqnarray}$ hingegen schon.
19.08.2024, 12:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Um dich zu beruhigen Ulrich: Der Fehler ist subtil und man behandelt sowas erst ab dritten Semester intensiver. Hier hast du insgesamt am Ende 4 Grenzwertprozesse: - Das Integral selbst - Die uneigentlichen Grenzen im Integral - Die Ableitung selbst. - Die Singularität im Argument (was im Integral dezidiert betrachtet werden muss). Wenn man die Reihenfolge frei vertauschen könnte, so kommt man zu deinem Resultat. Ich vermute bei gutmütigen Funktionen werden die ersten drei Grenzwerte sich gut genug verhalten, dass man sich darum nicht zu große Sorgen machen muss. Das Hauptproblem sehe ich bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ , wo man sorgfältig arbeiten muss.
19.08.2024, 13:02	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt komme ich von selber drauf. a > 0 war die Bedingung für das Theorem. Mit a=0 setzen habe ich diese Bedingung missachtet.
19.08.2024, 13:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es nicht. Das Theorem stimmt offensichtlich für $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ . Edit: Theorem: $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f\left(x-\frac ax\right) \dd x =\int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \dd x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ Setzt man links $\begin{eqnarray} a= 0 \end{eqnarray}$ , ist dort die triviale Gleichheit $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \dd x = \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \dd x \end{eqnarray}$ . D.h. es ist $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f\left(x-\frac ax\right) \dd x =\int\limits_{-\infty }^{\infty } \! f(x) \dd x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\geq 0 \end{eqnarray}$
19.08.2024, 13:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ulrich Ruhnau Ich weiß nicht, ob dies das Problem ist. Wenn du Glaser's Theorem auf die Funktion $\begin{eqnarray} g(x) = \frac{1}{x}f'(x) \end{eqnarray}$ anwendest, dass sollte zumindest gelten $\begin{eqnarray} PV\int\limits_{-\infty}^{\infty} g\left(x-\frac{a}{x}\right) ~ \dd x = PV\int\limits_{-\infty}^{\infty} g\left(x\right) ~ \dd x \end{eqnarray}$ , was dann aber zunächst mal nur bedeutet $\begin{eqnarray} PV\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x-\frac{a}{x}} f'\left(x-\frac{a}{x}\right) ~ \dd x = PV\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x}f'\left(x\right) ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Der Kardinalfehler scheint mir zu sein, links einfach nur bei einem der beiden Integranden-Faktoren zum Grenzwert $\begin{eqnarray} a\to 0 \end{eqnarray}$ übergehen zu wollen, beim anderen jedoch nicht. Gerade angesichts der möglichen Singularitäten bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ (rechts) bzw. $\begin{eqnarray} x=\pm\sqrt{a} \end{eqnarray}$ (links) lauern da einige Gefahren.
19.08.2024, 13:20	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hätte mein Rätsel also richtig lauten müssen: Man beweise oder widerlege für $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ und die anderen Voraussetzungen: $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty }^{\infty } \! \frac{f'\left(x-\frac ax\right)}x \dd x =0 \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

Man beweise oder widerlege folgendes Integraltheorem

Verwandte Themen