Tangentialebene an Kugel

18.08.2024, 21:15

monkeyman

Tangentialebene an Kugel

Grüß Gott miteinander

Es geht um die Bestimmung aller Punkte auf der Einheitssphäre S, in denen die entsprechende Tangentialebene T senkrecht zur Ursprungsgeraden g durch P(1|1|1) verläuft.

Intuitiv sollten die gesuchten Punkte den beiden Schnittpunkten von g und S entsprechen.
Ich bin mir aber eher unsicher, ob das hier wirklich so gedacht und als Lösung akzeptiert wird.

Meine aktuelle Idee ist es auszunutzen, dass ein passender Normalenvektor von T damit ja ein Vielfaches vom Richtungsvektor der Geraden g sein müsste, also $\begin{eqnarray*} \vec{n_T}=k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die Koordinatenform für T mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ für die obere Kugelhälfte lautet :

$\begin{eqnarray*} T: ~ z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)+f_y(x_0,y_0) \cdot (y-y_0) \end{eqnarray*}$

Daraus könnte man die Darstellung $\begin{eqnarray*} \vec{n_T}= \begin{pmatrix} f_x(x_0,y_0) \\ f_y(x_0,y_0) \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für einen Normalenvektor ableiten, wodurch wegen der dritten Komponente k=-1 gelten muss.

Durch die beiden anderen Komponenten folgen die Gleichungen :

$\begin{eqnarray*} -\frac{x_0}{\sqrt{1-x_0^2-y_0^2}}=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{y_0}{\sqrt{1-x_0^2-y_0^2}}=-1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x_0=y_0=\sqrt{1-x_0^2-y_0^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Umgeformt erhalte ich letztendlich wegen $\begin{eqnarray*} x_0,y_0 \geq 0 \end{eqnarray*}$ lediglich $\begin{eqnarray*} x_0= \frac{1}{\sqrt{3}}=y_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_0=f(x_0,y_0)=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Aus symmetrischen Gründen wird der andere Berührpunkt dann wohl die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_0=y_0=z_0=- \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ haben.

Stimmen meine Ausführungen soweit und ist das ein üblicher Lösungsweg für diese Art Aufgabenstellung ?

19.08.2024, 11:05

DrummerS

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentialebene an Kugel

Zitat:

Original von monkeyman
...Intuitiv sollten die gesuchten Punkte den beiden Schnittpunkten von g und S entsprechen.
Ich bin mir aber eher unsicher, ob das hier wirklich so gedacht und als Lösung akzeptiert wird...

Das kann möglicherweise der Aufgabenersteller beantworten. Wurde die Aufgabe korrekt wiedergegeben?

Zitat:

Original von monkeyman
...dass ein passender Normalenvektor von T damit ja ein Vielfaches vom Richtungsvektor der Geraden g sein müsste...

Wenn das und $\begin{eqnarray*} z = f\left(x,y\right) \end{eqnarray*}$ zutreffen sollte, dann könnte bereits hier $\begin{eqnarray*} x_{S} =y_{S} = z_{S} = k \cdot 1 \end{eqnarray*}$ vermutet und entsprechend eingesetzt werden: $\begin{eqnarray*} k \cdot 1 = \sqrt{1-\left(k \cdot 1\right)^2-\left(k \cdot 1\right)^2} \end{eqnarray*}$ .

19.08.2024, 21:20

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lässt sich - m. E. einfacher - analytisch mittels Vektorgeometrie lösen:
Die beiden Berührungspunkte T1, T2 der gegenständlichen Tangentialebenen sind die Schnittpunkte der Geraden

$\begin{eqnarray*} \vec X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot t \end{eqnarray*}$ mit der Kugel $\begin{eqnarray*} \vec X^2 = 1 \end{eqnarray*}$

mit dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} t = \pm \frac 1 {\sqrt 3} \end{eqnarray*}$ (es folgt aus $\begin{eqnarray*} 3t^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ), woraus sich

$\begin{eqnarray*} T_1 = \left(\frac 1 {\sqrt 3}, \frac 1 {\sqrt 3},\frac 1 {\sqrt 3}\right) \ \text{ und } \ T_2 = \left(-\frac 1 {\sqrt 3}, -\frac 1 {\sqrt 3},-\frac 1 {\sqrt 3}\right) \end{eqnarray*}$

ergeben.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Tangentialebene an Kugel

Verwandte Themen