Taylorreihe

20.08.2024, 08:29

gamescom

Taylorreihe

Guten Tag

Es geht darum die Taylorreihe zu $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x-2} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Ich dachte daran die geometrische Reihe ins Spiel zu bringen.

Man könnte dann ja etwas umformen zu $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x-2}=-x \cdot \frac{1}{2-x}=-\frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}=-\frac{1}{2}x \cdot \sum_{k=0}^{\infty}~(\frac{x}{2})^k=\sum_{k=1}^{\infty}-(\frac{x}{2})^k \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen und konvergiert die Reihe genau dann wenn $\begin{eqnarray*} -1<\frac{x}{2}<1 \end{eqnarray*}$ , was gleich bedeutend mit -2<x<2 ist ?

Etwas stutzig macht mich auch noch, dass ich über die allgemeine n-te Ableitung nicht ansatzweise auf eine ähnliche Summendarstellung kommen.

Meine ersten 3 Ableitungen lauten mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{2}{(x-2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{4}{(x-2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-\frac{12}{(x-2)^4} \end{eqnarray*}$

20.08.2024, 09:41

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von gamescom
Meine ersten 3 Ableitungen lauten mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2} \end{eqnarray*}$ :

Dieser Ansatz ist sehr vernünftig. Ich nehme an, daß du die Taylorrreihe an der Stelle x=0 entwickeln möchtest. Dann solltest du die Reihe mal zusammensetzen und schauen ob du nicht auf das Gleiche kommst wie mit der geometrischen Reihe.

Kannst du auch die n-fache Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ angeben?

20.08.2024, 12:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gamescom
Etwas stutzig macht mich auch noch, dass ich über die allgemeine n-te Ableitung nicht ansatzweise auf eine ähnliche Summendarstellung kommen.

Schnell fertig ist die Jugend mit dem Wort ... schauen wir uns das genauer an:

Allgemein bekommt man auf deinem Weg die Ableitungen $\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x) = (-1)^k\cdot \frac{2k!}{(x-2)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ , speziell an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ausgewertet bedeutet das $\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0) = (-1)^k\cdot \frac{2k!}{(-2)^{k+1}} = -\frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$ ...

20.08.2024, 13:19

gamescom

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön HAL 9000 Freude

Damit ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} \frac{f^k(0)}{k!}=-\frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ dann letztendlich wie gewünscht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}-\frac{1}{2^k} \cdot x^k=\sum_{k=1}^{\infty}-(\frac{x}{2})^k \end{eqnarray*}$ .

Mich hatte verunsichert, dass ich den Fall k=0, also die Ausgangsfunktion, damit ja vernachlässige.
Wenn die gefundene Regelmäßigkeit für die k-te Ableitung erst bei einem bestimmten $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ anfängt, dann kann man also die "störenden" Summanden von 0 bis $\begin{eqnarray*} k_0-1 \end{eqnarray*}$ von der Hauptsumme abspalten - habe ich das richtig verstanden ?
Für k=0 ergibt sich hier schönerweise ja eh f(0)=0, also kein erwähnenswerter Zusatzsummand.

20.08.2024, 13:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gamescom
Für k=0 ergibt sich hier schönerweise ja eh f(0)=0, also kein erwähnenswerter Zusatzsummand.

Was exakt der Grund dafür ist, warum man Summand $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ in der Taylorreihe hier weglassen darf.

Im Fall $\begin{eqnarray*} f(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ hätte man dies selbstverständlich nicht tun dürfen. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Taylorreihe

Verwandte Themen