Maximaler Winkel

20.08.2024, 10:56

Mathema

Maximaler Winkel

Moin,
gegeben sei die Punkteschar $\begin{eqnarray*} Q_a(-2|2a|a-2) \end{eqnarray*}$ , der Punkt $\begin{eqnarray*} P(-5|1|-3) \end{eqnarray*}$ , die Ebene $\begin{eqnarray*} E: 2x_1-x_2+2x_3=1 \end{eqnarray*}$ und der an $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gespiegelte Punkt $\begin{eqnarray*} P'(3|-3|5) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \alpha_a \end{eqnarray*}$ die Größe des Schnittwinkels der Geraden $\begin{eqnarray*} Q_aP' \end{eqnarray*}$ und der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist nun, dass $\begin{eqnarray*} \alpha_a \end{eqnarray*}$ maximal ist, wenn $\begin{eqnarray*} \overline{PQ_a} \end{eqnarray*}$ minimal ist.
Mit Mitteln der Analysis bekomme ich $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ und damit die Aussage. Da die Ableitung des arcsin in der Schule heutzutage eher out ist, frage ich mich, ob es auch ein geometrisches Argument für obige Aussage gibt. Hat dazu jemand eine Idee?

20.08.2024, 12:42

laugenmann

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Ich habe dazu mal eben auf die Schnelle per Online-Tool eine Skizze erstellt.

Die Punkte der Punkteschar bilden ja eine Gerade $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ und diese ist parallel zur gegebenen Ebene E.
Das lässt sich via Skalarprodukt leicht zeigen.

Der erwähnte Schnittwinkel sollte - wenn ich mich nicht irre - ja genau dort maximal werden, wo sich die beiden orthogonal windschiefen Geraden $\begin{eqnarray*} g_{PP'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ am nächsten kommen.

Mit $\begin{eqnarray*} P_t(-5+2t|1-t|-3+2t) \end{eqnarray*}$ sollte die Bedingung $\begin{eqnarray*} \vec{P_tQ_a} \perp g(a) \end{eqnarray*}$ ebenso direkt zu $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ führen.

Ich bin kein Experte in diesem Gebiet, aber vielleicht lässt sich damit ja arbeiten.

Zitat:

Da die Ableitung des arcsin in der Schule heutzutage eher out ist

Aber ist es in der heutigen Zeit nicht gerade so gewollt bzw. bestimmte Aufgaben genau darauf ausgelegt, dass man für unangenehme Rechnungen einen GTR/CAS nutzt ?
Damit würde sich diese "Problematik" ja dann erübrigen.

21.08.2024, 11:04

Mathema

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Vielen Dank! smile

22.08.2024, 22:42

klauss

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RE: Maximaler Winkel
Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PP'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Q_{a}P'} \end{eqnarray*}$ zeigen in denselben Halbraum.
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PP'} \end{eqnarray*}$ ist auch Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .
Für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha_{a} \end{eqnarray*}$ errechnet sich
$\begin{eqnarray*} \sin\left(\alpha_{a}\right) =\frac{9}{\sqrt{5a^{2}-2a+83}} \end{eqnarray*}$
was augenscheinlich für $\begin{eqnarray*} a=1/5 \end{eqnarray*}$ maximal wird.

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