(-1)^(-sqrt(-1)) = e^pi | Philosophie

22.08.2024, 10:19

Justice

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(-1)^(-sqrt(-1)) = e^pi | Philosophie

Hallo zusammen

$\begin{eqnarray*} (-1)^{-\sqrt{-1}} = e^\pi \end{eqnarray*}$

Eine wunderschöne Gleichung, welche die Elementaren Zahlen der Mathematik (1,e, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) auf eine (im ersten Hinblick) "counter-intuitive" Weise gegenüberstellt und vereint.

Ich habe hier bewusst nicht die Darstellung der "Eulersche Identität" gewählt.
Weil ich auf einer Seite der Gleichung die spezielle, einmalige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ , der Kreiszahl, haben wollte.
Sprich der Funktionswert aus der (meiner Meinung nach) elementarsten Funktion an der Stelle der wichtigsten Konstante...

Ich finde jetzt die mathematische Herleitung nicht so spannend wie die Philosophischen Gedanken dahinter.
Für mich persönlich schreit diese Gleichung nach Philosophischen Überlegungen.
Als verbirgt sich dahinter der Schlüssel (Grundgedanke) der Mathematik zur Lösung aller Lösbaren mathematischen Probleme.

Ich überlege mir auch dann auch hätte ich vor 500 Jahren diese Gleichung so an die Wandtafel geschrieben. Wären viele (alle?) Mathematiker skeptisch und unglaubwürding Betroffen gewesen. Und doch ist sie korrekt.

Wie ist das bei euch?

22.08.2024, 10:55

Elvis

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Vor 500 Jahren war das noch keine sinnvolle Gleichung, und über $\begin{eqnarray*} e,\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wusste man nichts. Heute ist es eine völlig normale Gleichung, weil wir holomorphe Funktionen und die allgemeine Potenz kennen. Für die Philosophie bleibt an der Stelle nichts mehr zu tun, die Philosophinnen haben ganz andere Probleme.

22.08.2024, 10:59

Elvis

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RE: (-1)^(-sqrt(-1)) = e^pi | Philosophie

Zitat:

Original von Justice

$\begin{eqnarray*} -1^{-\sqrt{-1}} = e^\pi \end{eqnarray*}$
[...]
Als verbirgt sich dahinter der Schlüssel (Grundgedanke) der Mathematik zur Lösung aller Lösbaren mathematischen Probleme.

Ganz sicher nicht.

22.08.2024, 11:24

HAL 9000

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@Justice

Mich schreit erstmal an, dass du eine Klammer vergessen hast: So wie du den Term links geschrieben hast, lautet die tatsächliche Rechnung

$\begin{eqnarray*} -1^{-\sqrt{-1}} = -\left( 1^{-\sqrt{-1}} \right) = -\left( 1 \right) = -1 \end{eqnarray*}$

Dagegen ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} (-1)^{-\sqrt{-1}} = (-1)^{-i} \stackrel{def}{=}\exp\left(-i\cdot \ln(-1)\right) = \exp\left(-i\cdot \pi i\right) = e^{\pi} \end{eqnarray*}$ , immer streng mit Hauptwert gerechnet.

22.08.2024, 12:19

Justice

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@HAL 9000
Stimmt, habe ich übersehen. Danke! Habe es korrigiert. Im Titel wars ja richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Elvis
Dann eben vor 200 Jahren.
Und doch, links vom Gleichheitszeichen scheint es so als hätte ein verrückt gewordener Mathematiker wild und wirkürlich mit negativen Einsen und Operationen ( Kehrwert, Potenz, wurzel) um sich geworfen.

Besser wäre eigentlich die Darstellung:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{-(-1)^{1/2} } = e^{\pi} \end{eqnarray*}$ Mit der kleinsten Primzahl als weitere wichtige Zahl in der Gleichung.

In 200 Jahren wissen wir z.B. das die Riemannsche Vermutung bewiesen werden kann mit:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\int_{1}^{\lambda } \! e^{x\pi} \, dx } \frac{1}{n^{s} } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma = \frac{e^{\pi}}{0} \end{eqnarray*}$
Wobei Gamma hier als Pendant zur imaginären Einheitszahl " $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ " steht.

Und genau wie vor 200 Jahre würde man heute denken macht überhaupt kein Sinn, da hat irgendeiner einfach mathematische Operanden und nicht anerkannte und vermeindlich ungültige mathematische Formulierungen verwendet...
In 200 Jahren wissen wir z.B. das durch 0 Teilen nicht nur Möglich sondern nötig ist. Um alle lösbaren mathematischen Probleme zu lösen. (z.B. könnte Gamma der "Nordpol" der Riemannschen Kugel sein (und auch hier wieder wilde willkürlichkeit, die kein Sinn ergibt. Heute.) )

Das sind natürlich nur Beispiele philosophischer Natur. Aber mit dem Bewegrund über den mathematischen Tellerrand hinhaus zu denken.

22.08.2024, 12:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Justice
In 200 Jahren wissen wir z.B. das durch 0 Teilen nicht nur Möglich sondern nötig ist.

Und schon heute wissen wir, dass manche ihr Drogenlevel senken sollten.

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22.08.2024, 12:40

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Justice
In 200 Jahren wissen wir z.B. das durch 0 Teilen nicht nur Möglich sondern nötig ist.

Und schon heute wissen wir, dass manche ihr Drogenlevel senken sollten.

Sagten die Mathematiker vor 200 Jahren als jemand folgendes an die Wandtafel schrieb:

"Ich will die Elementarsten Zahlen der Mathematik: Einheitszahl aus dem Axiom, erste Primzahl, e und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ in einer Formel gleichsetzen und es soll mathematisch konsistent und beweisbar sein, und ich habe es gefunden:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{-(-1)^{1/2} } = e^{\pi} \end{eqnarray*}$ "
...

22.08.2024, 14:12

Elvis

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Willkürliches Aufschreiben von unsinnigen Formeln erzeugt Unsinn. Mathematik entwickelt sich wie jede Wissenschaft durch neue Ideen und neue Begriffe von wenigen kreativen Menschen und durch sorgfältige Arbeit von vielen fleißigen und geduldigen Menschen.

23.08.2024, 09:00

Justice

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Ich behaupte ja nicht, das meine Formel sinnvoll ist.
Was ist sage ist: Was heute noch als Unsinnig erscheint, ist schon morgen des Mathematikers Lösung...

23.08.2024, 10:40

Elvis

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"Alles was heute Unsinn ist, ist eines Tages sinnvolle Mathematik" ? NEIN.
"Es gibt Aussagen, die heute unsinnig erscheinen und eines Tages sinnvoll sein können" ? Ja, das ist trivial.
Falsche Aussagen zusammen mit trivialen Aussagen ergeben noch keine Philosophie der Mathematik.

27.08.2024, 12:53

Justice

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Ja, das stimmt. Aber das wollte ich auch gar nicht damit sagen.

Schade, das es hier niemanden hat, der mit mir Philosophieren will unglücklich

unglücklich

27.08.2024, 13:05

Leopold

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Um über Mathematik philosophieren zu können, muß man Mathematik selbst können. Sonst bleibt man im Esoterischen hängen. Da ist hier in der Tat nicht das richtige Forum.

27.08.2024, 14:28

Elvis

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Wir können gerne über aktuelle Themen zur Philosophie der Mathematik diskutieren. Zum Beispiel anhand "The Hyperuniverse Project and Maximality" von Carolin Antos, Sy-David Friedman et al., Bierkhäuser 2018, oder nach Weihnachten anhand "The Palgrave Companion to the Philosophy of Set Theory" von Neil Barton, Carolin Antos et al., November 2024. Zum Einlesen für Anfänger empfehle ich "Unendlichkeiten - Nachrichten aus dem Grand Canyon des Geistes" von Harro Heuser, Teubner 2008 (enthält auch sehr amüsante Beiträge zu einem ernsthaften Thema (nicht nur amüsant, aber auch ... gar nicht lustig ist z.B. die Verbrennung von G.Bruno 1600, richtig lustig ist das jahrtausendelange Hin und Her der philosophischen Meinungen)).

Hier bleibt für FreundInnen der Pilosophie der Mathematik kein Wunsch unerfüllt: https://philpapers.org/browse/philosophy-of-mathematics

28.08.2024, 11:51

Justice

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Danke Elvis für den Link! Das ist ne super spannende Seite!

Aber suche mehr den Dialog smile

smile

27.03.2025, 10:39

Justice

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$\begin{eqnarray*} (-1)^{-(-1)^{2^{-1}}}=e^{\pi} \end{eqnarray*}$

Nochmals verschönert smile

smile

$\begin{eqnarray*} e^{\pi} \end{eqnarray*}$ dargestellt nur mit:
- Axiom-Einheitswert "1"
- erste Primezahl "2"
- Vorzeichen "-"
- Potenzierung

Sprich, ohne:
- Multiplikation
- Addition
- Subtraktion
- Division
- Terme $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ {1,2}
- Log-Funktion
- Trigo-Funktionen
- und... und...

27.03.2025, 11:57

Elvis

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Immer wieder hübsch, trotzdem bleibt es eine ganz normale allgemeine Potenz $\begin{eqnarray*} a^b=exp(b\cdot log(a)) \end{eqnarray*}$ . Kein Geheimnis, keine neue Erkenntnis.

27.03.2025, 12:33

Leopold

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Vor allem ignoriert der Fragesteller die gesamte Problematik hinsichtlich der Mehrdeutigkeit des Ausdrucks im Komplexen. HAL hat darauf in einer beiläufigen Bemerkung schon hingewiesen.

Die einfachste Darstellung, den gewünschten Ausdruck darzustellen, ist $\begin{align*} \operatorname{e}^{\pi} \end{align*}$ . Der Term enthält nur die fundamentalen transzendenten Zahlen der Analysis.

28.03.2025, 07:45

Justice

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Hallo Evlis und Leopold

Danke für eure Beiträge.

Ihr habt ja beide Recht.
@Leopold, weiss meinst du mit der Mehrdeutigkeit im Komplexen Raum? ist es nicht = 23.14... + 0i ?

Aber schaut mal wie Spannend. Dass ein reiner Potenzturm, sowas schönes kreiiren kann:

$\begin{eqnarray*} f(x=-1)=x^{x^{2^{x}}}=e^{-\pi} \end{eqnarray*}$

Generell sind ja Potenztürm-Funktionen eher selten in der "gebräuchlichen" / "nützlichen" Mathematik.

Ich behaupte jetzt mal, dies ist der fundamentalste Potenzturm-Funktion der Mathematik.

Oder gibt es Potenztürme die elementarere oder fundamentalere Resultate ergeben als dieser?

28.03.2025, 08:00

Elvis

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Wenn du an interessanten und wichtigen Funktionen interessiert bist, dann musst du dich mit Funktionentheorie beschäftigen. Das beginnt im allgemeinen mit elementaren Funktionen, steigert sich über holomorphe=analytische=unendlich oft komplex differenzierbare=Potenzreihen bis hin zu elliptischen Funktionen, Modulformen, Dirichletreihen, L-Reihen und noch viel mehr. Darüber hinaus kann man das auch noch in mehreren komplexen Variablen machen, und wer nicht genug davon kriegen kann, benutzt statt der komplexen Zahlen p-adische Zahlen oder noch exotischere Gebilde. (Kleinigkeiten beeindrucken da weniger.)

28.03.2025, 09:10

Leopold

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@Justice

Ich kann mich an eine Situation aus meinem eigenen Mathematikunterricht erinnern. Ich war Schüler an einem humanistischen Gymnasium und hatte daher nur Schmalspur-Mathematik. Irgendwann kamen wir zur Integralrechnung. Außer ganzrationalen Funktionen war da fast nichts. Mein Lehrer bemerkte, daß mein Interesse an Mathematik gestiegen war, und schenkte mir ein kleines Büchlein zur Technik des Integrierens. Und so bekam ich mit, daß die Arcustangensfunktion (in unserem Unterricht ein gänzlich unbekanntes Objekt) eine rationale Funktion als Ableitung besitzt. Und so hatte ich eine geniale Idee, die ich sofort meinem Lehrer unterbreitete: Man müßte doch nur eine Stammfunktion zu

$\begin{align*} f(x) = \frac{1}{1+x^2} \end{align*}$

bestimmen. Dann könnte man mit dieser Funktion, die dann dem Arcustangens oder so ähnlich entspräche, $\begin{align*} \pi \end{align*}$ berechnen und bekäme so eine wunderschöne Formel für $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Dieser Idee lag die naive Vorstellung zugrunde, daß es doch möglich sein muß, zu jeder durch einen rationalen Term in $\begin{align*} x \end{align*}$ definierten Funktion eine Stammfunktion zu bestimmen, die sich wieder durch einen rationalen Term in $\begin{align*} x \end{align*}$ ausdrücken läßt. Wenn man sich den Erfahrungshorizont eines Schülers, der in seiner Schulzeit immer nur mit lösbaren Problemen konfrontiert wird, vergegenwärtigt, war das keine schlechte Idee. Auf den Gedanken, daß, wenn es so einfach wäre, schon andere Mathematiker vor mir das gemacht hätten, kam ich nicht. Man hält sich selbst in dieser Lebensspanne für den Größten und glaubt, alle anderen warteten nur auf einen, bis man seine glanzvollen Ideen der Welt unterbreiten würde. Und so war die Antwort meines Lehrers eine einzige Enttäuschung für mich, als er mir erklärte, daß es nicht möglich sei, den Arcustangens durch eine "richtige Funktion" anzugeben. $\begin{align*} \arctan \end{align*}$ sei eben gerade ein Name für etwas, das anders nicht gehe. Von Potenzreihen und Ähnlichem wußte ich damals noch nichts. Ich war auch im Zweifel, ob mein Lehrer nicht vielleicht ein wenig schwindeln würde. Nur weil er selbst nicht wüßte, wie es ginge, würde er mir erzählen, es ginge gar nicht.

Warum erzähle ich das? Weil ich jetzt in der Situation meines damaligen Lehrers bin und du in der Rolle von mir. Auch wenn es hart ist: Deine Formeln sind nichts Besonderes. Auf solche und ähnliche Formeln sind schon andere und weit berühmtere Mathematiker als du gekommen. Zum Beispiel ich (*hüstel*). Ein Trost zum Schluß: Ich habe gelernt, mich bescheiden über meine Entdeckungen zu freuen, auch wenn ich feststellen muß, daß etwas anderswo schon längst steht. Aber ich kann halt nicht damit angeben.

Ich melde mich wieder, wenn ich die Riemannsche Vermutung bewiesen habe.

28.03.2025, 12:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Justice
@Leopold, weiss meinst du mit der Mehrdeutigkeit im Komplexen Raum? ist es nicht = 23.14... + 0i ?

Ich gehe mal noch hier drauf ein: Als Hauptwert der Potenz $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ bezeichnet man den einen Wert $\begin{eqnarray*} \exp\left(b\cdot \ln(a)\right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \ln(a) \end{eqnarray*}$ hier wiederum auch den Logarithmus-Hauptwert meint.

So wie aber der komplexe Logarithmus "mehrblättrig" ist, übeträgt sich das auch auf die komplexe Potenz, welche dann aus den höchstens abzählbar vielen Werten

$\begin{eqnarray*} \exp\left(b\cdot \left(\ln(a) + 2k\pi i\right)\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

besteht. Hier bedeutet das $\begin{eqnarray*} (-1)^{-i} = \exp\left( -i\cdot\left(\ln(1)+i\pi + 2k\pi i\right)\right) = e^{(2k+1)\pi} \end{eqnarray*}$ .

Den Hauptwert $\begin{eqnarray*} e^{\pi} \end{eqnarray*}$ erhält man dann speziell für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ , auf den anderen Blättern erhält man dann $\begin{eqnarray*} \ldots,e^{-3\pi},e^{-\pi},e^{3\pi},e^{5\pi},\ldots \end{eqnarray*}$ .

Ein sehr bekannter Spezialfall ist $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ :

In der Darstellung $\begin{eqnarray*} b=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ umfasst die mehrblättrige Potenz dann allerdings nicht mehr abzählbar unendlich viele verschiedene Werte, sondern nur noch genau $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , die sich periodisch wiederholen, wenn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die ganzen Zahlen durchläuft - das ist dann der Themenbereich "komplexe Wurzeln".

P.S.: Es ist nur Usus, wenn man von genau einem Wert $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ spricht (etwa als Teilterm einer größeren Formel), dass dann i.d.R. der Hauptwert gemeint ist. Die CAS, die mir untergekommen sind, geben auch nur den Hauptwert an, wenn man sie eine solche komplexe Potenz berechnen lässt.

28.03.2025, 12:35

Conny_1729

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Zitat:

Original von Justice
...
$\begin{eqnarray*} f(x=-1)=x^{x^{2^{x}}}=e^{-\pi} \end{eqnarray*}$

Generell sind ja Potenztürm-Funktionen eher selten in der "gebräuchlichen" / "nützlichen" Mathematik.

Ich behaupte jetzt mal, dies ist der fundamentalste Potenzturm-Funktion der Mathematik.

Oder gibt es Potenztürme die elementarere oder fundamentalere Resultate ergeben als dieser?

Sehr wahrscheinlich bieten die Potenztürme eine wahres Füllhorn an Möglichkeiten, um "irgendetwas Ansehnliches" darzustellen, zumal man sie beliebig strecken kann und damit alles Mögliche erzeugen kann. Ich finde den unendlichen Potenzturm mit i ganz schön, der dann auch eine Verbindung zur Lambertschen-W-Funktion liefert. Aber fundamental ist daran leider nicht das geringste.
$\begin{eqnarray*} <br /> i \uparrow \uparrow \infty \text{ }= e^{-W\left(-\frac{\pi }{2}\cdot i \right) } = \frac{2}{\pi } \cdot i\cdot W\left(-\frac{\pi }{2}\cdot i \right)<br /> \end{eqnarray*}$

Gruß Conny.

28.03.2025, 12:37

Leopold

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Und das sagt Wolfram dazu.

28.03.2025, 16:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Conny_1729
$\begin{eqnarray*} i \uparrow \uparrow \infty \text{ }= e^{-W\left(-\frac{\pi }{2}\cdot i \right) } = \frac{2}{\pi } \cdot i\cdot W\left(-\frac{\pi }{2}\cdot i \right) \end{eqnarray*}$

Auch hier stellt sich die Frage: Meinst du den Hauptzweig der LambertW-Funktion, also $\begin{eqnarray*} W_0 \end{eqnarray*}$ ?

Tatsächlich sind nämlich alle $\begin{eqnarray*} z^{(k)} = \frac{2}{\pi } \cdot i\cdot W_k\left(-\frac{\pi }{2}\cdot i \right) \end{eqnarray*}$ Lösungen der Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} z = i^z \end{eqnarray*}$ , also abzählbar viele, aber nur eins davon ist auch wirklich Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} z_0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_n = i^{z_{n-1}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

28.03.2025, 17:24

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
Auch hier stellt sich die Frage: Meinst du den Hauptzweig der LambertW-Funktion, also $\begin{eqnarray*} W_0 \end{eqnarray*}$ ?
...

Ich war von dem Hauptzweig (k=0) ausgegangen.
$\begin{eqnarray*} <br /> z^{(0)}=0.4382829... + i\cdot 0.36059247...<br /> \end{eqnarray*}$

Danke für den Hinweis, dass auch hier die Lösungen für die Nebenzweige existieren, also nicht vergessen werden dürfen!

Gruß Conny.

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