Axiome der Mathematik |
| 29.08.2024, 07:57 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Axiome der Mathematik Ein paar Fragen zu unserer Mathematik und Axiome: 0) Was ist der Unterschied zwischen einem Axiom-Regelwerk und einem Formalen System? 1) Welche Axiome verwenden wir für welche Gebiete der Mathematik? 1.1) Also haben wir mehrere Axiom-Regelwerke für unterschiedliche Teilgebiete der Mathematik? Oder nur eines? (Mengenlehre, Logik, Geometrie?) 2) Welches ist die Basisgedanke dieser Axiome? Mengenlehre? Logik? Kombination derer? Danke schmal im Vorraus 
|
||||
| 29.08.2024, 08:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man könnte deine Anfrage auch kurz so zusammenfassen: Bitte erklärt mir die gesamte Mathematik seit Erschaffung der Welt bis heute in zwei Sätzen. Aber vielleicht doch so viel: Im 20. Jahrhundert machte sich ein französisches Mathematiker-Kollektiv, das unter dem Pseudonym Bourbaki firmierte, daran, die gesamte bekannte Mathematik aus elementaren Axiomen abzuleiten. Man begann mit Mengenlehre und Topologie, wenn ich mich recht erinnere, und stieß in immer weitere Gebiete vor, sozusagen vom Abstrakten ins Konkrete. Das ist wissenschaftstheoretisch und als mathematisches Konzept hochinteressant, aber für die Didaktiv der Mathematik völlig unbrauchbar. Man stellt damit die Geschichte der Mathematik auf den Kopf. Ich habe einmal gelesen, daß die armen französischen Schulkinder bis heute unter den Auswirkungen der Bourbaki-Epidemie leiden. Du kannst ja mal unter Bourbaki googeln oder wikipedieren. |
||||
| 29.08.2024, 09:25 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mathematik kann man machen, gerne machen, bleiben lassen oder hassen. Axiome sind oft nützlich, wenn man ganz genau festlegen will, worüber man in einem Teilgebiet der Mathematik nachdenkt und spricht und schreibt. Zu jedem Teilgebiet der Mathematik gibt es beliebig viele verschiedene Axiome, und je nachdem welche Axiome man wählt, bekommt man verschiedene Ergebnisse. In der Geometrie hat das vermutlich angefangen und hat zur euklidischen Geometrie, zur elliptischen Geometrie, zur hyperbolischen Geometrie geführt, je nachdem welches Axiom für Parallelen zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb der Geraden formuliert wird. Wikipedia zählt noch einige weitere Geometrien auf, zu jeder gehört ein eigenes Axiomensystem. Genau so ist es in der Algebra, je nachdem, welche Axiome man wählt, bekommt man entsprechende algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, Algebren, ...). Auch in der Logik kann man durch verschiedene Axiomensysteme unterschiedliche Logiken bekommen (Aussagenlogik, Prädikatenlogik, philosophische Logiken, ...), auch dazu sagt Wikipedia mehr. Ein formales System besteht aus Axiomen (oder Axiomenschemata), wobei ein Teil davon Theorieaxiome und ein Teil Logikaxiome sind. Ein beliebtes formales System der Mengenlehre ist z.B. ZFC, d.i. das Zermelo-Fraenkel-System mit dem Auswahlaxiom und ein bisschen PL1. Es gibt natürlich auch hier viele andere. Zweck eines formalen Systems ist die Entwicklung einer Theorie einerseits und die Untersuchung dessen was man da macht in der Beweistheorie und Modelltheorie andererseits. |
||||
| 30.08.2024, 07:50 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Leopold und Elvis für eure Antworten!
Vielleicht verwende ich auch die falschen Begriffe. Was ich meine ist. Wenn es jetzt noch keine Mathematik gäbe, und ich hätte jetzt als erster Mensch die Gelegenheit sie auf die richtige Weise einzuführen. Dann müsste ich doch festlegen welches Symbol bedeutet was und die ganzen Rahmen Bedienungen und ich dachte, dies gehören dann zu den Axiomen. Damit jeder, der noch nie Mathematik gesehen hat, meine Gedanken nachvollziehen kann. Aber du schreibst sie sind blos nützlich und nicht nötig. Das wusste ich nicht. Wenn ich jetzt selber neue Mathematik erfinden würde (nicht, das ich dies könnte, es ist nur ein Beispiel). Könnte ich dies Mathewissenschaftlich anerkannt ohne Axiome oder Formalsystem aufbauen? |
||||
| 30.08.2024, 08:32 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bevor die Schrift erfunden wurde, haben Affen schon Bananen gezählt. Tausende von Jahren haben Männer und Frauen ihre Frauen, Männer und Kinder gezählt. Schon Vögel sind in der Lage, kleine Mengen der Größe nach zu vergleichen, dazu muss man nicht auf Cantor und schon gar nicht auf Frege und ZFC warten. Bevor die Dinosaurier ausgestorben sind, haben sie Mathematik betrieben, wir wissen nur nichts genaues darüber, weil der Meteoriteneinschlag sie und alle ihre schriftlichen Aufzeichnungen zerstört hat. Logik war bis Ende des 19. Jahrhunderts ein Teil der Philosophie, und erst als die Mathematiker im 20. Jahrhundert mathematische Logiken erfunden haben und feststellen konnten, dass Mengenlehre erheblich komplizierter ist als gedacht, haben einige erkannt, dass Axiome nicht nur nützlich sondern manchmal auch notwendig sind. Axiome kann man auch in Umgangssprache formulieren, dazu braucht man keine formalen Sprachen oder Symbole, deren Bedeutung man erklären müsste. Euklid hat es in seinen Elementen vorgemacht, und er konnte natürlich noch nicht wissen, was wir heute unter Axiomen verstehen. Für ihn und viele seiner Nachfolger waren Axiome nicht willkürliche Setzungen sondern grundsätzliche Annahmen über die Wirklichkeit. |
||||
| 30.08.2024, 11:07 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Kleinkind kann seine Sammelbildchen nur Zählen wenn es "Principia Mathematica" gelesen und verstanden hatte!!! 
Sonst ist es unmöglich... 
Spass bei Seite. Ich meine auch nicht, das es zum Zählen Axiome benötigt. Aber für complexere Mathematik und der Vollständigkeitshalber und als Grundgerüst um Missverständnisse ausschliessen zu können.
Also wann ist es notwendig? Oder ich formuliere meine Frage mal anders. Kann ich "komplexe" (also nicht nur Zählen) Mathematik betreiben (z.B. Algebra) ohne irgendwelche darauf basierenden Axiome? |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 30.08.2024, 13:40 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mathematik ist tausende von Jahren ohne formale Sprachen, ohne formale Systeme, ohne Formeln und ohne Axiome, Definitionen, Sätze und Beweise ausgekommen. In der Arithmetik wurde mit Zahlen gerechnet, in der Algebra wurden Gleichungen gelöst, in der Geometrie wurden Figuren bewegt und Abstände gemessen, in der Analysis wurden reelle Zahlen und reelle Funktionen behandelt - das geht gut auch wenn man nicht genau weiß, womit man arbeitet und was man da eigentlich macht. Im 19. Jahrhundert wurden immer noch gewaltige Fortschritte in der Mathematik gemacht (vgl. Felix Klein "Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert", kostenlos bei GDZ - Göttinger Digitalisierungszentrum oder für 84,99 € als Taschenbuch) ohne dass man ernsthaft Probleme hatte. Georg Cantor, Richard Dedekind, Felix Hausdorff et al. haben dann die Grundlagen für die Mengenlehre gelegt, womit im 20. Jahrhundert gewaltige Fortschritte in der Mathematik möglich wurden. Zu Beginn hatte die Mengenlehre ein paar Kinderkrankheiten, das hat zur Grundlagenkrise der Mathematik geführt, und als Ausweg hat sich eine Axiomatisierung der Mengenlehre angeboten (ZFC,NBG,...). Danach konnte auch die Mengenlehre wie jede andere mathematische Theorie mit den üblichen Methoden (Nachdenken, Begriffe definieren, Hypothesen formulieren, Sätze beweisen) informell betrieben werden und dient seitdem als Grundlage für die gesamte Mathematik (Bourbaki sei Dank). Die formalen Sprachen, formale Systeme, formale Axiome, formale Logik haben nebenbei ein Eigenleben entwickelt und sind zur notwendigen Voraussetzung für neue mathematische Theorien wie Beweistheorie, Modelltheorie, Theorie der Berechenbarkeit und Turingmaschinen geworden. Diese Theorien befassen sich zwar mit formalen Systemen, werden aber wie jede sinnvolle Mathematik nicht formal sondern informell betrieben. Der größte aller Formalisten, David Hilbert, hat im richtigen Leben ganz normale Mathematik auf höchstem Niveau betrieben und hat sich nur aus Gründen der Beweistheorie mit formalen Systemen beschäftigt. |
||||
| 30.08.2024, 17:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meines Wissens der erste, oder ich sage besser: einer der ersten, denn mit Superlativen muß man immer vorsichtig sein, also einer der ersten, der versucht hat, Mathematik axiomatisch zu betreiben, war der alte Euklid. "Ein Punkt ist, was keine Teile hat." So versuchte er, einen Punkt zu definieren. Heute sieht man das anders und glaubt, man können etwas Elementares wie einen Punkt nicht wirklich definieren, ohne in Tautologien und Trivialitäten abzudriften. Man hat eine Vorstellung eines Punktes im Kopf: der Schnitt zweier Geraden, die Ecke eines Dreiecks, der Mittelpunkt eines Kreises. Aber letzten Endes legt man nicht fest, "was" ein Punkt ist, sondern nur, "wie" und nach welchen Regeln er mit anderen geometrischen Grundbegriffen wie etwa Gerade oder Kreis interagiert. Und die Axiome, die dies regeln, sind eben gerade so gemacht, daß sie diese natürliche Vorstellung treffen. Wenn sich aber jemand Punkt und Gerade ganz anders vorstellt, ist das möglich. Wenn er einen Punkt für einen Apfel und eine Gerade für einen Obstkorb aus Äpfeln hält und sich die Axiome damit irgendwie veranschaulichen kann, soll er das tun. Was aus den Axiomen ableitbar ist, gilt dann nicht nur für die uns gewohnten Punkte, sondern auch für die Äpfel und Obstkörbe. |
||||
| 30.08.2024, 17:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So hat Euklid den Punkt definiert, und er sah, dass es gut war. Die Idee von Axiomen hat er auch gehabt, und so konnte er in seinen auch heute noch wunderschön zu lesenden Elementen eine vielvältige Geometrie entwickeln. In dieser euklidischen Geometrie ist eine Gerade immer "gerade", jedenfalls stellen wir sie uns so vor. Als ich das erste mal ein Minimalmodell eienr projektiven Geometrie gesehen habe, konnte ich kaum glauben, dass eine Gerade nicht immer "gerade" ist - aber man kann sich schnell daran gewöhnen, und dann erkennt man, wozu Axiome eigentlich gut sind: statt Objekte zu definieren und ihre Relationen zu untersuchen legt man die Relationen von Objekten fest. Auch die Physiker wissen nicht, was Elementarteilchen sind, sie wollen nur wissen, wie sie sich verhalten. |
||||
| 09.09.2024, 09:23 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Leopold und Elvis für eure Teilnahme und Antworten. Aber dann ist die ganze Axiomsgeschichte doch auch noch was Philosophisches. Ich frage mich dann. Wie könnte man einer völlig fremden intelligenten Lebensform (also komplett anders wie wir denkt, die aber auch über visuelle Sinnesorgange verfügt) auf einem Papier unsere Mathematik unmissverständlich zu erklären, dass nachdem sie dieses Dokument betrachten haben. Das gleiche Verständnis haben wie wir. Man müsste dann vielleicht mit ganz vielen Beispielrechnungen die Symbole erklären. So wie wir das z.B. bei Rätsel machen. z.B. findet ihr heraus für was, welches Symbol steht?: . - . . * . - .. .. - . * . .. * . - ... .. | . - . . - .. | . . | . - ? ? - . | . ? * . - . . - . * ? ? * ? - ? ? - ? | ? Abgesehen davon das Principia Mathematica "incomplete" ist, konnte man da aber mit einem gewissen Aufwand Axiome für die Mathematik aufstellen, oder ist das nicht so? |
||||
| 09.09.2024, 10:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) Wir wissen nicht, wie man Ameisen oder Ameisenbären menschliche Mathematik erklären kann und ich habe auch keine Ahnung, wozu das gut sein sollte. Der Versuch scheitert schon an vielen Menschen, speziell auch an den meisten Schülern und vielen Mathematik-Studierenden. b) Principia Mathematica ist nur ein Beispiel für ein formales System, das unvollständig ist, Gödel hat es erwähnt, weil es zu seiner Zeit zufällig verfügbar war. Er hat bewiesen, dass es kein Axiomensystem geben kann, dass als Grundlage für eine Theorie der natürlichen Zahlen dient und vollständig ist. Ganz egal, welchen Aufwand man treibt, es bleibt immer noch genug Mathematik für die Menschheit übrig, bis ans Ende aller Menschheit und darüber hinaus. |
||||
| 09.09.2024, 11:51 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu: a) Ich schreibe ja Intelligente Lebensformen. Damit meine ich Intelligents grösser gleich der Menschen. Zu: b) Ich meine auch nicht vollständig, sondern eineindeutig Definiert, also Unmissverständliche Basis. |
||||
| 09.09.2024, 12:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) Intelligenz ist nicht klar definiert und zwischen verschiedenen Arten nicht vergleichbar. Es ist unklar ob man anderen Lebensformen menschliches Denken (inklusive Mathematik) erklären kann. Ich glaube das nicht, weil das schon zwischen Menschen fast unmöglich ist, siehe z.B. Ukraine und Nahost und Amerika und Deutschland und den Rest der Welt. b) Das formale System ZFC ist eindeutig und unmissverständlich formuliert und ist zur Zeit die Grundlage unserer Mathematik. Das System ist relativ leicht verständlich und bequem zu handhaben, ein vollständiges System ist nicht möglich, wie Gödel bewiesen hat. Auf der bestehenden Grundlage kann man immer mehr Mathematik entwickeln, an der Erweiterung und Verbesserung der Grundlage wird auch gearbeitet. |
||||
| 16.09.2024, 09:08 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) Das stimmt, Intelligenz ist nicht vollumfänglich, lückenlos Beschrieben und ist etwas, was ich auch "Fuzzy" nenne. Aber es ist mehr als genügend definiert/beschrieben für diese "Gedankenexperiemente" hier. Einige Beispiele, welche auch Arten/Spezien-Unabhängig ist: - Intelligent sein heisst z.B.: komplexe "sinnvolle" Gedankengänge jenseits von Überlebens- und Fortpflanzungstrieben zu besitzen oder gar zu bevorzugen - Intelligent sein heisst z.B.: Muster in optischen oder akustischen Gegebenheiten zu erkennen und weiterführend korrekten zu interpretieren - Intelligent sein heisst z.B.: klevere/abstrakte Lösungen von für ein neues noch nie dagewesenes Problem zu finden - Intelligent sein heisst z.B.: seine Umgebung zu verstehen und zu seinem Vorteil nutzen. So werden auch Intelligents-Studien an Tieren angewandt. Und je effizienter und kreativer man in diesen Dingen ist, desto Intelligenter... ___________________________________________________________________________ __ b) Achso das ZFC, das war die Antwort auf meine Frage 1) aus dem Startbeitrag... Wikipedia beantwortet auch fast meine Frage 1.1) und ganzheitlich Frage 2) 1.1) Welche global anerkannte Teilgebiete der Mathematik haben ein anders Formal-System als das ZF? |
||||
| 16.09.2024, 09:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne das Auswahlaxiom gibt es keine Wohlordnungen, also keine Ordinalzahlen, keine Kardinalzahlen, keine Mengenlehre, in der man über unendliche Mengen sinnvoll sprechen kann. Man könnte nicht einmal lineare Algebra weit genug treiben, denn das Auswahlaxiom garantiert eine Basis für jeden Vektorraum. Jedes heute bekannte Teilgebiet der Mathematik lässt sich im Prinzip auf der ZFC-Mengenlehre aufbauen, genau das hat Bourbaki gemacht. ZFC enthält ein paar Theorieaxiome der Mengenlehre, = und als einzige Relationen und die Prädikatenlogik erster Stufe. (ZFC habe ich schon in meiner ersten Antwort gesagt.) |
||||
| 16.09.2024, 13:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuche, genauer zu sagen, was mir in der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom fehlt: Man kann zwar immer noch Ordinalzahlen rekursiv als transitive, wohlgeordnete Mengen definieren. Aber nicht jede Menge ist wohlgeordnet, ist also nicht unbedingt ordnungsisomorph zu einer bestimmten Ordinalzahl, hat also auch keine eindeutige Kardinalitaet. Kardinalzahlen lassen sich in ZF nicht rekursiv definieren, wohl aber in ZFC. |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
