Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

01.09.2024, 16:52

Zanji

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Hi, Ich mache ein paar Aufgaben zur Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Für ZV auf gegebenem W Raum haben wir $\begin{eqnarray*} X_n\overset{\mathbb{P}}\longrightarrow X \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon) =0 \end{eqnarray*}$

Gegeben sei nun $\begin{eqnarray*} X_n=\mathcal{N}(0,\sigma_n^2) \end{eqnarray*}$

z.Z $\begin{eqnarray*} X_n \longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .

Soweit so gut. Mein Ansatz ist hier, über die Charakteristische Funktion zu gehen für $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \phi_X(t) =\mathbb{E}(exp(itX) = exp(i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2) \end{eqnarray*}$

Dann gilt für $\begin{eqnarray*} \phi_{X_n}(t)=exp(-\frac{1}{2}\sigma_n^2t^2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \phi_{X_n}(t)=exp(0)=1 \end{eqnarray*}$ . Was Sinnhaft ist.

Wie argumentiere ich weiter? Es ist offensichtlich,dass $\begin{eqnarray*} \phi_0(t)=1 \end{eqnarray*}$ Aber es folgt nur die Konvergenz in Verteilung aus der Konvergenz der charakteristischen Funktionen.

Danke im Voraus

Grüße
Zanji

02.09.2024, 08:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zanji (korrigiert)
Für ZV auf gegebenem W Raum haben wir $\begin{eqnarray*} X_n\overset{\mathbb{P}}\longrightarrow X \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} {\color{red}\lim_{n\to\infty}} \mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon) =0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Soviel Zeit muss sein, das nicht halbfertig hinzuschludern.

Zitat:

Original von Zanji
Gegeben sei nun $\begin{eqnarray*} X_n=\mathcal{N}(0,\sigma_n^2) \end{eqnarray*}$

z.Z $\begin{eqnarray*} X_n \longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .

Fehlt da nicht eine Voraussetzung? Sowas wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sigma_n = 0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

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Wenn du über die charakteristische Funktion gehen willst, dann auf Basis welcher Aussage bzw. welchen Satzes?

Du könntest das ganze ja schließlich auch direkt nachweisen, und das direkt ohne Einsatz genialer Ideen: Für $\begin{eqnarray*} X_n\sim\mathcal{N}\left(0,\sigma_n^2\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} P\left(\left|X_n-X\right|>\varepsilon\right) = 2\cdot \left(X_n>\varepsilon\right) = 2\left(1 - \Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma_n}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Für festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ bewirkt der Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \sigma_n\to 0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{\sigma_n}\to +\infty \end{eqnarray*}$ und dort dann $\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma_n} \right) \to 1 \end{eqnarray*}$ , was wiederum über obige Gleichung $\begin{eqnarray*} P\left(\left|X_n-X\right|>\varepsilon\right) \to 0 \end{eqnarray*}$ zur Folge hat.

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