Auswahlaxiom |
| 07.09.2024, 16:15 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Auswahlaxiom 1. Wenn eine Menge x endlich ist oder unendlich, aber ihre Elemente einem gewissen Muster folgen, zB x = {{1,2}, {3,4}, {5,6}…}, dann existiert die Menge y, die von jedem Element von x genau ein Element hat, bereits durch ZF, AC braucht es hier nicht wirklich bzw. nur als Shortcut, d.h. ohne lange herum zu überlegen kann man mit Verweis auf „jedenfalls AC“ die Existenz von y bejahren . AC ist wirklich nur bei unendlichen Mengen notwendig, die kein internes Muster besitzen, was man als Aussonderung formalisieren kann. Kann man das so schreiben? 2. ZFC ist unsicher konsistent, d.h. wir nehmen es an, weil es sich bisher bewährt hat, aber wissen können wir es nicht, weil ZFC seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann. Ein mächtigeres System S könnte aber die Konsistenz von ZFC beweisen (natürlich nur relativ zu S, was als konsistent angenommen werden muss). ME muss zwischen S und ZFC gelten: ZFC S, nicht ZFC S, was zwar auch nicht falsch, aber doch etwas überflüssig wäre, weil eben S echt mächtiger/größer als ZFC sein muss. Richtig? |
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| 08.09.2024, 08:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
1. Richtig, wenn man eine Auswahlfunktion bzw. eine Auswahlmenge explizit angeben oder explizit definieren kann, dann hat man damit ihre Existenz bewiesen und muss ihre Existenz nicht aufgrund des Auswahlaxiom fordern. 2. Das ist hinreichend aber nicht notwendig. S muss kein formales System sein, das ZFC umfasst. Ein konsistentes formales System S, das die Konsistenz von ZFC beweist oder widerlegt, kann ganz andere Axiome enthalten, und die ZFC-Axiome können in der S-Theorie beweisbare Theoreme sein. |
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| 08.09.2024, 13:38 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, wie klingt das? ZFC ist unsicher konsistent, d.h. wir nehmen es an, weil es sich bisher bewährt hat, aber wissen können wir es nicht, weil ZFC seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann. Ein ausdrucksstärkeres System S könnte aber die Konsistenz von ZFC beweisen (natürlich nur relativ zu S, was wiederum als konsistent angenommen werden muss). S muss nicht einmal mächtiger sein als ZFC iSv ZFC S, sondern darf nur nicht schwächer sein, also S ZFC. Konkret zweifle ich noch daran, ob es heißen muss „…ausdrucksstärkeres System S“ oder „…nicht ausdrucksschwächeres System S“. |
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| 08.09.2024, 20:09 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist alles viel zu pessimistisch. Es kann eine von der durch ZFC axiomatisierten Mengenlehre unabhängige konsistente Theorie T geben, deren Konsistenz bewiesen werden kann und in der sich die Konsistenz der Mengenlehre beweisen lässt. Wir arbeiten daran, und in 20000 Jahren werden wir eine solche Theorie entwickelt haben; wenn nicht, dann haben wir in 10000 Jahren die Mengenlehre durch eine bessere Theorie ersetzt und sparen 10000 Jahre Arbeit. |
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