Hauptraumzerlegung

07.09.2024, 18:41	vtxt1104	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraumzerlegung Meine Frage: ich hab eine frage zur Hauptraumzerlegung, In einem Erklärungsvideo auf youtube, wurde die matrix ganz links gegeben, welche Nicht diagonalisierbar ist also geom.vielfachheit < algb. vielfachheit. Um nun die Nebenvektoren zu bestimmen, wurde nicht die matrix nach abzug des Eigenwertes 3 Potenziert, sondern, die Nebenvektoren ergaben sich aus dem Gleichunssystem wobei der Eigenvektor die Lösung ist (Pfeil), eine Stufe höher wurde der Nebenvektor aus vorheriger rechnung als Lösung genommen. Das entspricht ja nicht dem Vorgehen wie wir es im Skript hatten, normalerweise müsste man ja den Kern von (A-3E)^2 und (A-3E)^3 berechnen und dann das Homogene gleichungssystem Lösen. Meine frage ist, was steckt hinter dem Lösungsweg aus dem Screenshot des Videos, ist das nur ein Spezialfall? Meine Ideen: Also wenn ich es explizit ausrechne funktioniert es
09.09.2024, 16:25	trancelocation	Auf diesen Beitrag antworten »
Das funktioniert immer, wenn der Eigenraum $\begin{eqnarray} \ker (A - \lambda) \end{eqnarray}$ eindimensional ist und die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ größer ist. In diesem Fall - ich nehme einfach dein Beispiel - sieht der zugehörige Jordan-Block so aus: $\begin{eqnarray} J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hierbei muss eine zu $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ gehörige Basis $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ verallgemeinerter Eigenvektoren folgende Eigenschaft haben: $\begin{eqnarray} Av_1 = \lambda v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_2 = v_1 + \lambda v_2 \Rightarrow (A-\lambda)v_2 = v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Av_3 = v_2 + \lambda v_3 \Rightarrow (A-\lambda)v_3 = v_2 \end{eqnarray}$ Alles klar jetzt? :-)

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