Variation einer Funktion

09.09.2024, 14:49	piku99	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Was ist die erste Variation der Funktion $\begin{eqnarray} f(x(t_e),t_e) \end{eqnarray}$ mit Variationen in $\begin{eqnarray} x(t_e) \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} t_e \end{eqnarray}$ ? Bzw. ich suche nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , sodass: $\begin{eqnarray} \delta f = A \delta x + B \delta t_e \end{eqnarray}$ Im Buch steht es wäre: $\begin{eqnarray} \delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \delta x(t_e) + (\frac{\partial f}{\partial x} \dot{x}(t_e) + \frac{\partial f}{\partial t_e}) \delta t_e \end{eqnarray}$ Für den Term erster Ordnung von $\begin{eqnarray} f(x^(t_e^* + \delta t_e) + \delta x(t_e), t_e^* + \delta t_e) \end{eqnarray}$ Aber ich komme nicht drauf. Meine Ideen:* Ich dachte man benutzt einfach Taylor der ja sagt $\begin{eqnarray} \delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac{\partial f}{\partial t_e} \delta t_e \end{eqnarray}$ Da ja $\begin{eqnarray} \delta x(t_e) = \frac{\partial x}{\partial t_e} \delta t_e \end{eqnarray}$ gilt fehlt dann aber ein Term zu der Lösung oben Willkommen im Matheboard! Ich habe die zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen
12.09.2024, 08:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Einerseits variiert man die Zeit t gemäß $\begin{eqnarray} t \rightarrow t+\Delta t \end{eqnarray}$ Andererseits variiert man auch den Ort (unabhängig von der Zeit!!!) $\begin{eqnarray} x \rightarrow x(t+\Delta t)+\Delta x \end{eqnarray}$ Darin entwickelt man $\begin{eqnarray} x(t+\Delta t) \end{eqnarray}$ in einer Tayloreihe, bekommt man für die Variation von x $\begin{eqnarray} x \rightarrow x(t+\Delta t)+\Delta x \approx x(t)+\tfrac{dx}{dt}\Delta t +\Delta x \end{eqnarray}$ Setzt man diese beiden variierten Argumente $\begin{eqnarray} t+\Delta t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x+\Delta x \end{eqnarray}$ in die Funktion f(t,x) ein und entwickelt alles in einer Taylorreihe, bekommt man die gewünschte Variation von f : $\begin{eqnarray} f[\underbrace{t+\Delta t}_t, \underbrace{x(t)+\tfrac{dx}{dt}\Delta t +\Delta x}_x]=f(t,x(t)]+\underbrace{\tfrac{df}{dt}\Delta t+\tfrac{df}{dx}\cdot \left ( \tfrac{dx}{dt}\Delta t +\Delta x\right )}_{\text{Variation von f}} \end{eqnarray}$

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