Sei g o f injektiv ist g dann auch injektiv?

10.09.2024, 18:29

Student100924

Sei g o f injektiv ist g dann auch injektiv?

Nabend!

Wenn wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, muss dann auch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv sein?

10.09.2024, 18:34

IfindU

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RE: Sei g o f injektiv ist g dann auch injektiv?
Antwort ist Nein, d.h. du darfst nach einem Gegenbeispiel suchen Augenzwinkern

11.09.2024, 13:53

Luftikus

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RE: Sei g o f injektiv ist g dann auch injektiv?

Zitat:

Original von Student100924
Nabend!

Wenn wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, muss dann auch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv sein?

Nein, aber f.
Wenn f sogar bijektiv ist, dann ist g injektiv.

11.09.2024, 16:24

IfindU

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RE: Sei g o f injektiv ist g dann auch injektiv?

Zitat:

Original von Luftikus
Wenn f sogar bijektiv ist, dann ist g injektiv.

Das hängt wohl davon ab, ob wir $\begin{eqnarray*} f: X_1 \to X_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g \colon Y_1 \to Y_2 \end{eqnarray*}$ haben mit:
- $\begin{eqnarray*} X_2 = Y_1 \end{eqnarray*}$
- oder nur $\begin{eqnarray*} X_2 \subset Y_1 \end{eqnarray*}$ .

13.09.2024, 03:43

trancelocation

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RE: Sei g o f injektiv ist g dann auch injektiv?
Betrachte

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} g\circ f: \end{eqnarray*}$ offensichtlich injektiv, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aber nicht.

Überlege aber mal, was passiert, wenn man $\begin{eqnarray*} \left. g\right|_{\text{Bild}(f)} \end{eqnarray*}$ betrachtet - also die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf das Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

19.09.2024, 16:55

IfindU

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Tracelocations Beispiel passt natürlich. Da der Threadsteller sich wohl nicht mehr meldet, das "krasseste" Beispiel ist wohl das hier: $\begin{eqnarray*} f \colon \{0\} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \colon \mathbb R \to \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ sind beides konstante Funktionen, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die nicht-injektivste reelle Funktion und dennoch ist $\begin{eqnarray*} g \circ f : \{0\} \to \{0\} \end{eqnarray*}$ sogar bijektiv.

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