Achsenabschnittsform der Senkrechten

12.09.2024, 09:44

punktlandung3

Achsenabschnittsform der Senkrechten

Meine Frage:
Hallo,

ich hatte gesehen diese unendlichen Geraden im Koordinatensystem (also senkrecht und waagerecht) sind sehr wichtig.
Zum Beispiel beim Tangens. Aber sie können ganz einfach als x=3 oder y=1 aufgeschrieben werden.
Dann dachte ich also, in der "Achsenabschnittsform" der ebenen Gerade
müsste es möglich sein, das schnell herzuleiten. Aber das klappt nicht??
Was ist richtig, was ist falsch?

Meine Ideen:
Erstmal heißt es $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \end{eqnarray*}$

Dann möchte ich die Senkrechte bei x=3 herleiten. Darum wird a=3 und b=0, weil die senkrechte Gerade keine y-Achse schneidet.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3} + \frac{y}{0} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3} \pm \infty = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm \infty = 1-\frac{x}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm \infty = 3-x \end{eqnarray*}$

Und jetzt, damit das ganze funktioniert, sollte dort

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pm \infty} = 3-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 3-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$

stehen! Oder daraus werden.

12.09.2024, 09:53

Elvis

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Durch 0 kann man nicht dividieren, und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, mit der man rechnen kann. Also steht in jeder Zeile deiner Herleitung etwas Unmögliches. Sei zufrieden mit x=3 als senkrechter Geraden durch den Punkt (3,0), besser geht es nicht.

12.09.2024, 10:03

tomato

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Die Gerade zu x=3 besitzt den x-Achsen-Abschnitt a=3.
Einen festen y-Achsen-Abschnitt b gibt es nicht (die Gerade verläuft ja parallel zur y-Achse), da kannst du also nicht einfach b=0 einsetzen.
Wenn, dann könntest du b unendlich groß machen, wodurch der zweite Summand in der Gleichung wegfällt bzw. sich beliebig nah dem Wert Null nähert.
Es verbleibt damit also für $\begin{eqnarray*} b \to \infty \end{eqnarray*}$ nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{3}=1 ~ \iff ~ x=3 \end{eqnarray*}$

12.09.2024, 11:20

Elvis

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Wenn wir uns auf Zahlen einlassen wollen, die man "unendlich groß machen" kann, dann kommt man in Teufels Küche.
Besser könnte man für $\begin{eqnarray*} a\ne 0 \end{eqnarray*}$ schreiben $\begin{eqnarray*} 1=\lim_{b\to \infty}(\frac x a+ \frac y b)=\lim_{b\to \infty}\frac x a+ \lim_{b\to \infty}\frac y b=\frac x a+0=\frac x a\Rightarrow x=a \end{eqnarray*}$ .
Da schießt man aber mit sehr großen Kanonen auf sehr kleine Spatzen. Dummerweise bleibt auch noch für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ der Punkt $\begin{eqnarray*} \lim_{b\to\infty}\frac y b=0 \end{eqnarray*}$ zu klären, über den ich mich hier lieber nicht weiter auslassen möchte.

12.09.2024, 13:16

mYthos

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Dem Problem kann mittels der vektoriellen bzw. Parameterform (Punkt-Richtungsform) der Geradengleichung begegnet werden.

Die Gerade x = 3 lautet dann [x = 3; y = t] oder $\begin{eqnarray*} \vec X = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Gerade y = 1: [x = t; y = 1] oder $\begin{eqnarray*} \vec X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Richtungsvektoren dienen die jeweiligen Einheitsvektoren.

Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass die Lage und der Verlauf der Geraden auf einen Blick erkennbar ist und sie sofort auch in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3 \end{eqnarray*}$ übertragen werden kann.

mY+

12.09.2024, 14:51

Elvis

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Ja, das ist sehr viel besser, weil es immer funktioniert und sehr schön geometrisch und anschaulich ist. Eine Achsenabschnittsform sollte man höchstens dann benutzen, wenn genügend Achsenabschnitte vorhanden sind, sonst verwirrt das nur.

12.09.2024, 19:53

punktlandung3

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, mit der man rechnen kann.

Bist du dir da sicher?? Immerhin wird das als Symbol in der Mathematik verwendet. Und meine Frage geht also mehr in die Richtung,
(1) ob es eine Achsenabschnittsform dieser Geraden gibt,
und (2) wie diese dann aussieht. Das wurde bestimmt schon entschieden vor tausenden Jahren.

Warum schreibt man z.B. nicht $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+ 0 = 1 \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{\pm\infty} = 1 \end{eqnarray*}$

Ist die unendliche Senkrechte sowas wie eine Fläche dann, und positiv weil sie in x>0 liegt???
Aber wie gesagt, dachte ich geht es dabei nicht um Philosophie sondern um Regeln, wenn verlangt wird, diese Geraden in dieser Form aufzuschreiben.

12.09.2024, 21:11

Elvis

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Über das Unendliche wird seit Jahrtausenden von Philosophen gestritten, und für Mathematiker war dieses Symbol nie eine Zahl, mit der man rechnen kann. Man kann verlangen, die Gerade x=3 in dieser Form aufzuschreiben, aber das ist und bleibt unmöglich.

12.09.2024, 22:26

Leopold

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"Unendlich" ist zunächst ein Wort der deutschen Sprache, mit dem man in der Mathematik Unterschiedlichstes verbinden kann. Unendliche Kardinal- oder Ordinalzahlen sind etwas anderes als das eher topologisch aufgefaßte $\begin{align*} \infty \end{align*}$ der reellen Analysis. Um Letzteres geht es hier. Beim üblichen Verständnis dieses Objekts und seines Gegenübers $\begin{align*} - \infty \end{align*}$ ist es nicht möglich, die beiden so zu $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ dazuzunehmen, daß die üblichen Körperaxiome weitergelten. Das heißt nun aber nicht, daß man gar keine Regeln aufstellen kann, mit denen man die Rechenregeln von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ weiterführt. So kann man zum Beispiel ohne Bedenken

$\begin{align*} \infty + \infty = \infty \, , \ \ \ \infty \cdot (- \infty) = - \infty \end{align*}$

rechnen, wogegen die berühmt-berüchtigten $\begin{align*} \infty - \infty \end{align*}$ oder $\begin{align*} \frac{\infty}{\infty} \end{align*}$ reines Gift sind. Man kann etwa $\begin{align*} \infty + \infty = \infty \end{align*}$ als symbolische Gleichung für folgende Aussage auffassen: Streben zwei Funktionen (zwei Folgen) beim selben Grenzübergang gegen unendlich, so auch ihre Summe. Man kann dann die Limesregel

$\begin{align*} \lim_{x \to a} \left( f(x) + g(x) \right) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \end{align*}$

auch im Falle $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{x}, \ g(x) = \cot(x) \end{align*}$ mit dem Grenzübergang $\begin{align*} x \to 0, \, x>0 \end{align*}$ anwenden.

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