Äquivalenzklasse

18.09.2024, 10:43

KonverDiv

Äquivalenzklasse

Hallo

Angenommen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sind nicht leere Mengen und wir haben die Abbildung $\begin{eqnarray*} f : X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ und die Relation $\begin{eqnarray*} R_f := \left\{(x,y) \in X \times X \, | \, f(x) = f(y) \right\} \end{eqnarray*}$ . Ich möchte nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} R_f \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist und, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \left[x\right] := \left\{ x \in X \, | \, f(x) = y \right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in f(X) \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Das $\begin{eqnarray*} R_f \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist, habe ich schon gezeigt. Wie zeigt man aber den Teil mit der Äquivalenzklasse? Wenn ich das hätte angeben müssen, würde ich dies mit $\begin{eqnarray*} \left[x\right] := \left\{ y \in X \, | \, (x,y) \in R_f \right\} \end{eqnarray*}$ (Definition) beziehungsweise, weil $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R_f \Leftrightarrow f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ ist, mit $\begin{eqnarray*} \left[x\right] := \left\{ y \in X \, | \, f(x) = f(y) \right\} \end{eqnarray*}$ angegeben. Das ist aber leider nicht die geforderte Äquivalenzklasse. Wo liegt hier mein Fehler? verwirrt

Vielen Dank für kommende Antworten!

18.09.2024, 12:45

Elvis

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Die Rechnungen bzw. Beweise werden erheblich übersichtlicher, wenn du statt
$\begin{eqnarray*} R_f := \left\{(x,y) \in X \times X \, | \, f(x) = f(y) \right\} \end{eqnarray*}$
schreibst
$\begin{eqnarray*} R_f := \left\{(a,b) \in X \times X \, | \, f(a) = f(b) \right\} \end{eqnarray*}$ .
Das Symbol $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sollte für $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y\in f(X)\subseteq Y \end{eqnarray*}$ reserviert werden, sonst geht das Verständnis nach wenigen Zeilen verloren.

(So wie du vorgegangen bist, müsste $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)=y \end{eqnarray*}$ werden, und das ist für $\begin{eqnarray*} X\ne Y \end{eqnarray*}$ i.a. gar nicht möglich.)

18.09.2024, 16:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \left[x\right] := \left\{ x \in X \, | \, f(x) = y \right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in f(X) \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Sollte es nicht besser heißen: $\begin{eqnarray*} \left[x\right] := \left\{ z \in X ~\mid~ f(z) = f(x) \right\} \end{eqnarray*}$ verwirrt

18.09.2024, 20:51

KonverDiv

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@Elvis, danke das werde ich unter diesen Empfehlungen nochmal betrachten!

Edit: Du empfiehlst $\begin{eqnarray*} R_f := \left\{(a,b) \in X \times X ~\mid~ f(a) = f(b) \right\} \end{eqnarray*}$ , das ist eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und nach Definition der Äquivalenzklasse haben wir jetzt $\begin{eqnarray*} \left[a\right] := \left\{ b \in X ~\mid~ (a,b) \in R_f \right\} \end{eqnarray*}$ . Nutzen wir aus, dass $\begin{eqnarray*} (a,b) \in R_f \Leftrightarrow f(a) = f(b) \end{eqnarray*}$ , dann haben wir $\begin{eqnarray*} \left[a\right] := \left\{ b \in X ~\mid~ f(a) = f(b) \right\} \end{eqnarray*}$ . Setzen wir $\begin{eqnarray*} y := f(b) \subseteq Y \end{eqnarray*}$ , dann erhalten wir $\begin{eqnarray*} \left[a\right] := \left\{ b \in X ~\mid~ f(a) = y \right\} \end{eqnarray*}$ . Soweit okay? verwirrt

Zitat:

Original von HAL 9000
Sollte es nicht besser heißen: $\begin{eqnarray*} \left[x\right] := \left\{ z \in X ~\mid~ f(z) = f(x) \right\} \end{eqnarray*}$ verwirrt

@HAL 9000, im Buch steht es so nicht. Aber deiner Meinung würde ich mich auch anschließen!

21.09.2024, 12:49

KonverDiv

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Hat noch Jemand Anmerkungen, Bedenken oder Einwende hinsichtlich meines letzten Beitrages?

21.09.2024, 17:54

Elvis

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Die Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ soll von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängig sein und nicht von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left[a\right] := \left\{ b \in X ~\mid~ f(a) = f(b) \right\} \end{eqnarray*}$ . Setzen wir $\begin{eqnarray*} y := f(a) \in Y \end{eqnarray*}$ , dann erhalten wir $\begin{eqnarray*} \left[a\right] := \left\{ b \in X ~\mid~ f(b) = y \right\} \end{eqnarray*}$

21.09.2024, 19:04

KonverDiv

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Hallo @Elvis Wink

Danke für deine Korrektur! Freude

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