Finanzmathematik Rentenrechnung - Barwert

21.09.2024, 14:08

MMchen60

Finanzmathematik Rentenrechnung - Barwert

Liebe Forumsgemeinde, es geht um die Aufgabe im Anhang. Für Teil 2 habe ich meine Lösung angehängt. 1. Frage: ist die richtig? Zweite Frage bezieht sich auf die Zeitachse des Bezugspunktes für den Barwert. Wo ist die?

21.09.2024, 15:01

adiutor62

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RE: Finanzmathematik Rentenrechnung - Barwert
Restschuld nach 2 Jahren:

(100000*1,03- 20000)*1,03 = 85400

85400*1,03^8 = R*(1,03^8-1)/0,03

R= 12165, 78

21.09.2024, 16:12

MMchen60

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RE: Finanzmathematik Rentenrechnung - Barwert

Zitat:

Original von adiutor62
Restschuld nach 2 Jahren:
R= 12165, 78

Hallo danke für die Kontrolle. Aber, wo muss ich den Zeitpunkt für den Barwert nun markieren? Da, wo die Raten anfangen?
VG MMchen.

21.09.2024, 16:28

adiutor62

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RE: Finanzmathematik Rentenrechnung - Barwert
Die Raten fangen bei 3 an. Das sieht man doch in der Abbildung, wo R steht.

Der Barwert ist 85400*1,03 = Restschuld am Ende des 3. Jahres.

22.09.2024, 06:19

MMchen60

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RE: Finanzmathematik Rentenrechnung - Barwert

Zitat:

Original von adiutor62
Die Raten fangen bei 3 an. Das sieht man doch in der Abbildung, wo R steht.

Der Barwert ist 85400*1,03 = Restschuld am Ende des 3. Jahres.

Muss das nicht doch die Stelle "Anfang des zweiten Jahres" sein, denn die Raten werden ja nachschüssig geleistet. Also erste Rate Ende 2. Jahr = Anfang 3. Jahr. Somit ist der Barwertpunkt doch Anfang 2. Jahr und nicht da, wo die Raten anfangen.

Übrigens es muss heißen Barwert ist $\begin{eqnarray*} 85400 \cdot 1,03^8 \end{eqnarray*}$ (Weiter vorne korrekt angegeben).

22.09.2024, 07:13

adiutor62

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RE: Finanzmathematik Rentenrechnung - Barwert
Jedes R bezieht sich auf das Jahresende.
Daher muss die Restschulsd nach 2 Jahren um 1 Jahr aufgezinst werden.
Damit erhälst du den Barwert am Ende des 3.Jahres, wenn die nächste Zahlung erfolgt.

22.09.2024, 19:31

mYthos

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Prinzipiell ist es möglich, den Zeit-Bezugspunkt überall auf der Zeitachse anzunehmen.
Um Irrtümer möglichst auszuschließen - wie es hier (bei adiutor) geschehen ist - sind bei Rückzahlungen eines Kredites die Barwerte zu vergleichen*.
Also sollte der Bezugspunkt am Anfang der Zeitlinie liegen. Damit ist der Vergleich sicher und ohne Wirrnisse.
Und auch die Berechnung von Zwischenergebnissen ist demzufolge obsolet.

Der Barwert des Kredites ist also 100000,- (am Beginn des 1.Jahres) und alle Rückzahlungen sind demnach auch dorthin zu beziehen.
Also lautet die Gleichung mittels Barwervergleiches

$\begin{eqnarray*} 100000 = \frac {20000} {q} + \frac R{q^3} + \frac R{q^4} + \ldots + \frac R{q^{10}} \end{eqnarray*}$

Die letzten 8 Glieder der rechten Seite ersetzen wir durch die Summe der geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied $\begin{eqnarray*} \frac R{q^{10}} \end{eqnarray*}$ (dann ist deren Quotient gleich q).

$\begin{eqnarray*} 100000 = \frac {20000} {q} + \frac R{q^{10}} \frac{q^8-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac R{q^{10}} \frac{q^8-1}{q-1} = 100000 - \frac {20000} {q} \quad | \ \cdot q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac R{q^{9}} \frac{q^8-1}{q-1} = 20000 (5q-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R = \frac{20000q^9 (5q-1)((q-1)}{q^8-1} \end{eqnarray*}$

R = 12178,60 (bei 3% p.a. bzw. q = 1.03)
____________________________________

(*) Der Vergleich kann natürlich auch bei den Endwerten erfolgen, damit wird unter Umständen die Gleichung einfacher, weil bruchfrei:
(Der Zeit-Bezugspunkt liegt dann am Ende des 10. Jahres)

$\begin{eqnarray*} 100000q^{10} = 20000q^9 + Rq^7 + Rq^6 + \ldots + R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, ist diese Gleichung identisch mit jener bei der Barwertmethode.
Denn zwischen Endwert (E) und Barwert (B) besteht bei einer Dauer von n Verzinsungsabschnitten (Zeiträumen) die Beziehung

$\begin{eqnarray*} E = B \cdot q^n \end{eqnarray*}$

@MMchen60: Dein Ergebnis ist im Wesentlichen richtig, wenngleich - wahrscheinlich infolge Rundungsfehler - nicht exakt.

mY+

24.09.2024, 17:20

mYthos

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Nun habe ich - des Interesses halber - auch noch nach dem Fehler von adiutor62 gesucht - und diesen auch gefunden Big Laugh

Die Restschuld nach 2 Jahren ist 85490,- und nicht 85400,- (!)
Wahrscheinlich wäre dies ohne Berechnung des Zwischenergebnisses nicht passiert.

Danach liefert die weitere Rechnung auch richtig R = 12178,60

mY+

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