Warum ist 1/x aufgeleitet ln(|x|)

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22.09.2024, 16:43

LaraKlarissa

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Warum ist 1/x aufgeleitet ln(|x|)

Warum ist 1/x aufgeleitet ln(|x|)?

22.09.2024, 17:36

HAL 9000

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Kurze Frage, lange Antwort - z.B. die fast 20 Jahre alte, aber natürlich immer noch gültige von Leopold. Augenzwinkern

23.09.2024, 17:38

trancelocation

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RE: Warum ist 1/x aufgeleitet ln(|x|)
Ich gehe einfach mal davon aus, dass du den natürlichen Logarithmus $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ als Umkehrfuntion der Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ kennst.

Damit weißt du (spätestens jetzt):

$\begin{eqnarray*} x>0 \Rightarrow e^{\ln x} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<0 \Rightarrow e^{\ln (-x)} = -x \end{eqnarray*}$

Jetzt differenzierst du beide Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und wendest auf der linken Seite jeweils die Kettenregel an:

$\begin{eqnarray*} x>0 \Rightarrow (e^{\ln x})' = e^{\ln x}\cdot (\ln x)' = \boxed{x \cdot (\ln x)' = 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<0 \Rightarrow (e^{\ln (-x)})' = e^{\ln (-x)}\cdot (\ln (-x))' =\boxed{ -x \cdot (\ln (-x))' = -1} \end{eqnarray*}$

Insgesamt erhältst du also:

$\begin{eqnarray*} x>0 \Rightarrow \boxed{(\ln x)' = \frac 1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<0 \Rightarrow \boxed{(\ln (-x))' = \frac 1x} \end{eqnarray*}$

Beides zusammen bedeutet:

$\begin{eqnarray*} (\ln |x|)' = \frac 1x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} |x| \neq 0 \end{eqnarray*}$

23.09.2024, 18:04

Luftikus

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RE: Warum ist 1/x aufgeleitet ln(|x|)

Zitat:

Original von LaraKlarissa
Warum ist 1/x aufgeleitet ln(|x|)?

Am Einfachsten begründet man es damit, dass die Ableitung der Umkehrfunktion gleich dem Kehrwert der Ableitung der Funktion ist, also..

$\begin{eqnarray*} x'(y) = \frac{1}{y'(x)} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} y(x) = e^x > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x) = e^x = y(x) > 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x(y) = ln(y) \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x'(y) = \frac{1}{y'(x)} = \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

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