Beweise zu Konvergenzarten

26.09.2024, 21:53

IchLerneWT

Beweise zu Konvergenzarten

Ich bin gerade an zwei Aufgaben dran, die sich mit Konvergenzarten beschäftigen und hoffe jemand kann mir sagen was ich falsch mache bzw vergessen habe, ich suche einfach Feedback um mich zu verbessern!

a) r>0 Gilt $\begin{eqnarray*} lim_{n\rightarrow \infty} E(|X|^r) = 0 \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} X_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich.

Meine Idee ist es mit der Markovungleichung zu arbeiten $\begin{eqnarray*} P(|X_n|>a)\leq\frac{E(|h(X_n)|)}{h(a)} \end{eqnarray*}$ für monoton wachsendes $\begin{eqnarray*} h:R\rightarrow [0,\infty) \end{eqnarray*}$

Nehmen wir einfach h(x) = x^r für r>0
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ fest aber beliebig
dann:
$\begin{eqnarray*} P(|X_n-0|>\epsilon)=P(|X_n|>\epsilon)\leq\frac{E(|X_n|^r)}{\epsilon^r} \end{eqnarray*}$

Die Rechte Seite geht dann gegen 0 für n gegen unendlich, folglich muss auch die linke Seite gegen 0 gehen für n gegen unendlich.

Kann ich bei einer solchen Ungleichung einfach auf beiden Seiten den Limes bilden oder übersehe ich etwas?

b) $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,... \end{eqnarray*}$ ZV Sei $\begin{eqnarray*} m\in R_+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(|X_n|>m)=0 \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} X_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ in Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow lim_{n\rightarrow\infty}E(|X_n|)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ folgt direkt aus a) für r=1
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
Für nichtnegative ZV gilt: $\begin{eqnarray*} E(X)=\int_0^\infty P(X>x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty P(|X_n|>x)dx=\int_0^m P(|X_n|>x)dx+\int_m^\infty P(|X_n|>x)dx=\int_0^m P(|X_n|>x)dx+0 \end{eqnarray*}$ Da X_n in Wahrscheinlichkeit konvergiert folgt \int_0^m lim P(|X_n-0|>x)dx=\int_0^m 0 =0 für alle x>0 und somit die Behauptung. Kann man das so machen?

c) Ich soll nichtnegative Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,.. \end{eqnarray*}$ konstruieren, die in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergieren aber $\begin{eqnarray*} E(X_n)=+\infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\N \end{eqnarray*}$ .

Hier habe ich ehrlich gesagt keine Idee, ich habe viel rumprobiert aber nichts sinnvolles gefunden

Ich freue mich, wenn mir jemand helfen kann!

27.09.2024, 09:13

IfindU

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RE: Beweise zu Konvergenzarten
Bei a) hängt es davon ab, was du mit $\begin{eqnarray*} X_n \to 0 \end{eqnarray*}$ meinst. Wenn es in Wahrscheinlichkeit ist, passt es. Wenn es punktweise fast sicher ist, dann ist Aussage falsch.

b) Passt, es ist eine Anwendung von Satz der dominierter Konvergenz/ Satz von Lebesgue.

c) Nimm dir $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ als Wahrscheinlichkeitsraum (mit Borel-Sigma Algebra und dem Lebesgue-Maß). Dann kannst die Zufallsvariablen als $\begin{eqnarray*} X_n = \infty \cdot \chi_{[0,a_n]} \end{eqnarray*}$ konstruieren, mit geeignetem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

27.09.2024, 10:23

IchLerneWT

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RE: Beweise zu Konvergenzarten
Danke, genau es ist Konvergenz in Wahrscheinlichkeit gemeint! das habe ich wohl vergessen dabei zu schreibem.

22.10.2024, 19:55

HAL 9000

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Bisschen spät, aber noch eine Ergänzung: Falls bei c) reelle Zufallsgrößen gemeint sein sollten (d.h. Wertemenge ohne $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} P(X_n=k) = \begin{cases} 1-\frac{1}{n}& \mbox{ für }k=0\\ \frac{1}{nk(k+1)}& \mbox{ für }k=1,2,\ldots\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} E(X_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+1} = \infty \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P\left( \left|X_n-0\right| \geq \varepsilon \right) = P\left( X_n\geq 1 \right) = \frac{1}{n} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , was die Definition für $\begin{eqnarray*} X_n\stackrel{P}{\rightarrow} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

22.10.2024, 20:40

IfindU

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Alternativ mein W-Raum mit $\begin{eqnarray*} X_n(x) = \frac 1 x \cdot \chi_{0, a_n}(x) \end{eqnarray*}$ . Kann ich mir leichter vorstellen.

23.10.2024, 14:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} X_n(x) = \frac 1 x \cdot \chi_{0, a_n}(x) \end{eqnarray*}$ . Kann ich mir leichter vorstellen.

Wie man's nimmt:

Immerhin ist das eine Zufallsgröße, die weder diskret noch stetig ist, sondern eine Mischung davon: Mit diskretem Anteil bei 0 und stetigem auf $\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{a_n},\infty\right) \end{eqnarray*}$ .

Da kommen Anfänger schon mal ins Schleudern - aber als Beispiel für eine reelle Zufallsgröße natürlich Ok. Augenzwinkern

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