Algebra/Numerik bei Streckenfahrten

14.10.2024, 08:03

Dopap

Algebra/Numerik bei Streckenfahrten

(I)
In einer populär wissenschaftlichen Zeitung blieb eine Aufgabe ca. 30 Jahre lang

ungelöst bis sie dann endlich 1982 "gelöst" wurde.
[attach]57952[/attach]
vom Punkt H aus fährt ein Arbeiter abwechselnd 3 mögliche
Wege zu seinem Ziel in O

1. direkt von H nach O in 30 min
2. indirekt über A nach O mit AO =10 km in 40 min
3. oder ebenfalls indirekt über B mit BO = 10 km in 35 min.

AO und BO stehen senkrecht und mögliche Koordinatenachsen sind angedeutet
Alle Streckenzüge mit derselben konstanten Geschwindigkeit

Wie groß ist diese ?
mMn tatsächlich nicht einfach, aber mit etwas Algebra einsetzungen und quadratischer

Gleichung durchaus machbar.
=====================================================================
(II)
Die Skizze samt Daten gilt nach wie und auch die konstante Geschwindigkeit v
im 1. Quadranten aber:

1. auf der Strecke BO fährt er mit 20 Meter pro Minute schneller.
2. auf der Strecke AO steigert er diese minütlich um 10 Meter je Minute,

=======> welche metergenauen Koordinaten x und y hat sein Startpunkt H?

IDEE: für die 4 Zeiten der Strecken SA, SO, SB, BO kann man leicht analytische

Funktionen $\begin{eqnarray*} t_1(\cdot), t_3(\cdot), t_4(\cdot), t_1(\cdot) \end{eqnarray*}$ in x,y,v angeben.
Für t2 = Zeit für AO nicht so easy, aber quadratische Umkehrung liefert die ( unbereinigte )

funktion $\begin{eqnarray*} t_2(v) = -\frac {v}{0.01} + \sqrt{\left(\frac{v}{0.01}\right)^2 +\frac { 2\cdot 10.0}{0.01}} \end{eqnarray*}$ . Diese bestimmt für jede gewählte Geschwindigkeit v
im 1. Quadranten die FahrZeit für die Strecke AO.
Algebraisch müsste das System

$\begin{eqnarray*} G1: t_1(x,y,v) + t_2(v)- 40 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G2: t_3(x,y,v) \qquad \quad - 30 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G3: t_4(x,y,v) + t_5(v)- 35 = 0 \end{eqnarray*}$ gelöst werden.

Ist das überhaupt möglich?

15.10.2024, 10:47

Conny_1729

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RE: Algebra / Numerik bei Streckenfahrten
Hallo,
beim Aufgabenteil (I) kann man über das Gleichungssystem herausfinden (ich hoffe, dass meine Angaben auch OK sind), dass die Lösung im 1. Quadranten auf der folgenden Gerade liegen sollte.
$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{2}{595}\cdot \left(23\cdot \sqrt{6461}-1638 \right)\cdot x \end{eqnarray*}$

Man erhält über das Gleichungssystem schließlich auch explizit eine Lösung für x und y, also für die Koordinate des Startpunktes.
$\begin{eqnarray*} x=\frac{280\cdot \left(33962+217\cdot \sqrt{6461} \right) }{908209} km=15.84797... km \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{400640\cdot \sqrt{6461}-22007440 }{908209} km =11.2266... km \end{eqnarray*}$

Die Geschwindigkeit errechnet sich über:
$\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{953}\cdot \left(1260-8\cdot \sqrt{6461} \right)km/min=0.647384...km/min \end{eqnarray*}$

Der Aufgabenteil (II) ist da schon weitaus aufwändiger, um an die Lösung zu kommen, da die Gleichungen zur Berechnung von x und y schnell ausufern. Aus diesem Grund habe ich einen Hilfsparameter z (= Summe der Quadrate von x und y) eingeführt, über den dann Gleichungen für x(z) und y(z) berechnet werden können. Für den ersten Quadranten erhalte ich dann zwei Kurven y1(x1) und y2(x2), deren Schnittpunkt die Lösung ist. => Alles weitere siehe Anlage.

Ich muss daher zugeben, dass ich im letzten Schritt (Schnittpunktsuche) leider nur eine numerische Lösung angeben kann. Aber vielleicht kommt ja jemand auf eine einfachere Lösung???

Ansonsten bin ich anfangs bei Aufgabe (II) Punkt 2. über das Wort "minütlich" gestolpert. Es hört sich fast so an, als würde ein Geschwindigkeitssprung (treppenförmig) erfolgen. Diese Option habe ich nicht betrachtet, sondern nur den kontinuierlichen Geschwindigkeitsanstieg.

Gruß
Conny
.

16.10.2024, 08:10

Dopap

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Danke für deinen guten Beitrag und der Mühe !

und ja, minütlich ist Teil eines Differential Quotienten etwa so wie bei :
alle 11 Minuten verliebt sich ein Paar bei paarship

Physikalisch ist bereits das Original fragwürdig. Die durchgehend konstante Geschwindigkeit stößt
bereits bei den Punkten A und B an ihre Grenzen, denn ruckartige Richtungsänderungen sind ungesund,
was Rennfahrer bestätigen könnten.

Deine Ergebnisse stimmen mMn. Allerdings habe ich gar keine Algebra bemüht, sondern die Gleichungen als Funktionen dem
num. Simultanlöser meines Taschenrechners übergeben. Mit guten Startwerten ist das auch in knapp einer Minute erledigt.

=====================================================
(3)
wenn aber z.B die Funktion $\begin{eqnarray*} \quad s_2(t) \quad \end{eqnarray*}$ analytisch nicht umkehrbar wäre, dann hätte ich ein
ernstes Problem das Gleichungssystem num. zu lösen

16.10.2024, 09:34

Conny_1729

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Zitat:

Original von Dopap
(I)
In einer populär wissenschaftlichen Zeitung blieb eine Aufgabe ca. 30 Jahre lang
ungelöst bis sie dann endlich 1982 "gelöst" wurde.

Interessant ist ja, dass die Problemstellung 30 Jahre überdauerte bis sie offiziell gelöst wurde. Nun kamen ja Anfang der 80er-Jahre die ersten Heimcomputer (Commodore VC20 / Sinclair ZX80 etc. …) auf den Markt. Das wäre eine Erklärung, dass dieser Aufgabentyp mittels Rechnerunterstützung bequemer gelöst werden konnte. Aber diese Aufgabe ließe sich bestimmt auch ohne Rechenknecht und Programmiersprache lösen, wenn man sich simpler Näherungsverfahren bedient und sukzessive die Genauigkeit des Ergebnisses verfeinert. Ist zwar zeitaufwändig, aber machbar. Bezogen auf eine numerische Lösung halte ich die „30 Jahre“ daher eher für fragwürdig, denn Taschenrechner gab es ja schon in den 70er-Jahren. Aber, wer weiß, was unter dem Begriff „gelöst“ gemeint war?

Gruß Conny

16.10.2024, 10:27

Conny_1729

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Anscheinend gibt es für die Aufgaben (I) und (II) noch eine zweite Lösung, wenn man die Suche nicht nur auf den 1. Quadranten beschränkt. (siehe Anlage)

Der kleine "Lösungsfleck" liegt im Quadrant I (Lösung gemäß Aufgaben-Skizze). Die zweite Lösung dagegen im Quadrant IV. Die Schwärze des Fleckes gibt dabei die Qualität bzgl. der Abweichungen von den beiden geforderten Zeiten (35min & 40min) an.

Gruß Conny
.

16.10.2024, 13:56

willyengland

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RE: Algebra/Numerik bei Streckenfahrten

Zitat:

Original von Dopap
(I)
In einer populär wissenschaftlichen Zeitung blieb eine Aufgabe ca. 30 Jahre lang

ungelöst bis sie dann endlich 1982 "gelöst" wurde.

Welche Zeitung und wie wurde die Aufgabe gelöst?

17.10.2024, 00:04

Dopap

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beziehe mich auf den YouTuber Presh Talwalker der die Aufgabe vorstellt und den
Rechenweg zeigt. https://www.youtube.com/watch?v=3VMXF5Xhi80&t=106s
Gelöst in Anführungszeichen, da die Aufgabe mit Abiturniveau lösbar sein sollte, aber anscheinend
für "normale" Menschen nicht.

Das passiert immer wieder gerne wenn in Aufgaben die Variable im Nenner beheimatet ist.
Bestes Beispiel dafür ist das Schwimmbecken mit 3 Zuflüssen A B und C wobei die 3 Zeiten bekannt
sind wenn je 2 Zuflüsse geöffnet sind und fragt dann nach der Zeit wenn alle 3 Zuflüsse laufen.
Missbraucht man dann noch das Pluszeichen in der Fragestellung :

1.) A + B = 2h
2.) A + C = 3h
3.) B+ C = 4h

ist der Fehler kaum vermeidbar.

17.10.2024, 13:38

HAL 9000

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Man muss ja nicht darauf hereinfallen, sondern notiert das eben gleich anders: Mit den Beckenfüllgeschwindigkeiten A,B,C in Maßeinheit "Becken pro Stunde" hat man gegeben

1) A + B = 1/2
2) A + C = 1/3
3) B + C = 1/4

womit das ganze dann leicht lösbar ist.

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