Dimension und lineare Unabhängigkeit

19.10.2024, 21:17

KonverDiv

Dimension und lineare Unabhängigkeit

Hallo

Angenommen $\begin{eqnarray*} v_1, ... , v_m \in V \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig und $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zeigen, dass dann gilt $\begin{eqnarray*} dim(span(v_1 + w, ... , v_m + w)) \geq m -1 \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz wäre eine Fallunterscheidung.

Fall 1: Angenommen $\begin{eqnarray*} (v_1 + w, ... , v_m + w) \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig, dann ist klar, dass $\begin{eqnarray*} dim(span(v_1 + w, ... , v_m + w)) = m \geq m -1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Fall 2: Angenommen $\begin{eqnarray*} (v_1 + w, ... , v_m + w) \end{eqnarray*}$ sind nicht linear unabhängig. Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 (v_1 + w) + ... + \lambda_m (v_m + w) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ , wegen der linearen Abhängigkeit.

Wir schreiben den Ausdruck um und erhalten $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_m v_m + (\lambda_1 + ... + \lambda_m) w = 0 \end{eqnarray*}$ .

Angenommen $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + ... + \lambda_m = 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist wegen der linearen Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ 's aber $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = ... = \lambda_m = 0 \end{eqnarray*}$ , was unserer Annahme, dass es $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt, widersprechen würde. Also muss gelten $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + ... + \lambda_m \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Ebenso folgt $\begin{eqnarray*} w \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \exists j \in \{1,...,m\} \end{eqnarray*}$ , es einen Vektor $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ gibt, der als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann.

Mit $\begin{eqnarray*} w = \mu_1 v_1 + ... + \mu_m v_m \end{eqnarray*}$ , erhalten wir $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_m v_m + (\lambda_1 + ... + \lambda_m) (\mu_1 v_1 + ... + \mu_m v_m) = 0 \end{eqnarray*}$ , sodass wir schreiben können:

$\begin{eqnarray*} v_j = \frac{\lambda_1 + (\lambda_1 + ... + \lambda_m) \mu_1}{\lambda_j + (\lambda_1 + ... + \lambda_m)\mu_j}v_1 + ... + \frac{\lambda_{j-1} + (\lambda_1 + ... + \lambda_m) \mu_{j-1}}{\lambda_{j} + (\lambda_1 + ... + \lambda_m)\mu_{j}}v_{j-1} + \frac{\lambda_{j+1} + (\lambda_1 + ... + \lambda_m) \mu_{j+1}}{\lambda_{j} + (\lambda_1 + ... + \lambda_m)\mu_{j}}v_{j+1} + ... + \frac{\lambda_{m} + (\lambda_1 + ... + \lambda_m) \mu_m}{\lambda_{j} + (\lambda_1 + ... + \lambda_m)\mu_{j}}v_{m} \end{eqnarray*}$

Entfernt man den Vektor $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ aus der Liste $\begin{eqnarray*} (v_1 + w, ... , v_m + w) \end{eqnarray*}$ , ist diese wieder linear unabhängig. Das sind nun aber $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ Vektoren, daher folgt die Behauptung.

Meine Frage, kann man das hier so vertreten? verwirrt

20.10.2024, 10:28

IfindU

Dimension und lineare Unabhängigkeit

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