Lokfahrt nach Vorgabe

24.10.2024, 07:19

Dopap

Lokfahrt nach Vorgabe

(I)
Quadratische Gleichungen sind ja an sich nichts besonderes, man muss Ihnen aber
auch habhaft werden. Hierzu habe ich mir mal was im "Sachzusammenhang" ausgedacht:

Auf der Eisenbahn-Versuchsstrecke im Emsland hat eine E-Lok u.a. die 3 Fahrstufen
A, B und C welche nahtlos geschaltet werden können und zwar

1. A für die Zeit $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ mit der Beschleunigung von 60km/h/min
2. B für die Zeit $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ mit der Beschleunigung von 6km/h/min
3. C für die Zeit $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ mit der Bremsung von 120 km/h/min

Aufgabe: Startend bei Kilometer 2.0 wählen Sie die Fahrstufen A, B, C und
zugleich die Zeiten $\begin{eqnarray*} t_1, t_2 , t_3 \end{eqnarray*}$ nacheinander derart, dass die Lok nach insgesamt
10:30 min und bei Kilometer 27.0 zum Stehen kommt.
Bestimmen Sie die 3 Zeiten exakt oder numerisch sekundengenau.

Skizze des (Zeit,Geschwindigkeit) = (T,v) -Diagramms

[attach]57959[/attach]
Die Basis T3 ist mit 10:30 min fix. Die grüne Fläche repräsentiert die Fahrstrecke und ist
mit 25 km ebenso vorgegeben, desweiteren die 3 Steigungen des Randes.
Optisch und praktisch gesehen sind in diesem System die braunen Vertikalen passend
zu verschieben bis die grüne Fläche der Vorgabe entspricht.

24.10.2024, 09:22

HAL 9000

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Am Anfang vereinbart man am besten günstige Maßeinheiten, damit die Umrechnungsfaktoren und -brüche nicht zu üppig ausfallen. Hier erscheint mir passend, alle Zeiten in min, alle Wege in km, und daraus ableitend alle Geschwindigkeiten in km/min sowie alle Beschleunigungen in km/min² anzugeben (letzteres ergibt die handlichen Werte 1, 0.1 und -2 für die drei Intervalle). Dann gilt für die Geschwindigkeiten an den beiden Knickpunkten

$\begin{eqnarray*} v_1 = t_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = 2t_3 \end{eqnarray*}$

Als Koppelbedingung im mittleren Intervall muss gelten

$\begin{eqnarray*} v_2-v_1 = 0.1t_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2t_3 - t_1 = \frac{10.5-t_1-t_3}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_3 = \frac{1}{2} + \frac{3}{7}t_1\qquad (1) \end{eqnarray*}$

Eine zweite Gleichung ergibt sich aus der Wegbedingung

$\begin{eqnarray*} 25 = \frac{v_1t_1 + (v_1+v_2)t_2 + v_2t_3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25 = \frac{t_1^2}{2} + \frac{t_1+2t_3}{2} (10.5-t_1-t_3) + t_3^2\qquad (2) \end{eqnarray*}$

(1) in (2) einsetzen, quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ lösen, fertig (die eine der beiden Lösungen scheidet dann offenkundig aus, weil mit der $\begin{eqnarray*} t_1+t_3 > 10.5 \end{eqnarray*}$ wäre).

25.10.2024, 07:31

Dopap

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Gute Ausnutzung von Vereinfachungen.
Die quadratischen Gleichungen sind mit diesen Maßzahlen zwar von den meinen
verschieden, aber die phys. Größen stimmen exakt überein. In SI und gerundet

$\begin{eqnarray*} (t_1,t_2,t_3) = (163.5s,366.5s,100.1s) \end{eqnarray*}$

===================================================
(II)

Leider erreichen mich schlechte Nachrichten vom Versuchsleiter:
Die Lok hält etwas zu früh. In der Bremsphase C erhitzt die Wirbelstrombremse oder
der Rekuperationstrafo? was einen leichten linearen Trend der Bremskraftverstärkung
bewirkt. Installierte Beschleunigungssensoren vermelden den Wert von $\begin{eqnarray*} 1\frac {mm}{s^3} \end{eqnarray*}$ .

Dadurch hat die Fahrstufe C die variable Bremsbeschleunigung von $\begin{eqnarray*} a_3(t):=-5/9 m/s^2 - 0.001 m/s^3 \cdot t \quad = \quad -2km/min^2 - 0.216km/min^3\cdot t \end{eqnarray*}$

Wie sind nun die Zeiten zu wählen damit die Lokfahrt alle 3 Bedingungen erfüllt?

1mm/s^3 klingt nun nicht gerade nach viel, aber das tut z.B das $\begin{eqnarray*} CO_2 \end{eqnarray*}$ in der
Atmosphere mit 0.04% ja auch nicht ...

25.10.2024, 08:32

HAL 9000

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Was ändert sich im Ansatz (II) gegenüber dem von (I):

- Aus $\begin{eqnarray*} v_2=2t_3 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} v_2 = 2t_3 + 0.108t_3^2 \end{eqnarray*}$

- Der Bremsweg ändert sich von $\begin{eqnarray*} \frac{v_2t_3}{2} = t_3^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{t_3} \left(v_2 - 2t-0.108t^2\right)~ \dd t = t_3^2 + 0.072t_3^3 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt stellen wir wohl besser $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ in quadratischer Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ dar:

$\begin{eqnarray*} t_1 = 0.12t_3^2 + \frac{7}{6}\left(2t_3-1\right)\qquad (1) \end{eqnarray*}$

Zum Gesamtweg:

$\begin{eqnarray*} 25 = \frac{v_1t_1 + (v_1+v_2)t_2}{2} + t_3^2 + 0.072t_3^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25 = \frac{t_1^2}{2} + \frac{t_1+2t_3 + 0.108t_3^2}{2} (10.5-t_1-t_3) + t_3^2 + 0.072t_3^3\qquad (2) \end{eqnarray*}$

Wie gehabt, (1) in (2), mündet diesmal in eine quartische Gleichung für $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ . Sieht alles in allem weniger schlimm aus als hier. Augenzwinkern

EDIT: Sofern ich nichts falsches in mein CAS eingetippt habe, läuft das auf die quartische Gleichung $\begin{eqnarray*} 162t_3^4+7200t_3^3+56000t_3^2-612500t_3+778125 = 0 \end{eqnarray*}$ hinaus, mit der einzig praxisrelevanten Lösung $\begin{eqnarray*} t_3\approx 1.5268 \end{eqnarray*}$ , das sind dann in Sekunden für die drei Abschnitte $\begin{eqnarray*} (160.5,377.9,91.6) \end{eqnarray*}$ . Die erreichte Maximalgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ist dabei 198.3 km/h, etwas weniger als in Szenario (I), was soweit erwartbar war.

28.10.2024, 06:15

Dopap

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Nachdem zunächst mein $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ deutlich größer und $\begin{eqnarray*} t_1, t_3 \end{eqnarray*}$ deutlich kleiner waren ging die Suche los.
Probleme: alles mit einem Finger in den TR tippen, schlechte Lesbarkeit und auch das SI
System mit den großen Zahlen. Desweiteren der stete Wechsel der Varialen t3 und der
Laufvariablen t in den Integralen oder Termen.

Nach geraumer Zeit des Tippens lief der Simultane Numerische Equation Solver mit 3 Gleichungen zwar stetig,
konnte aber gegen 5:13 h MEZ das Ergebnis deiner Vorgabe numerisch "genau" bestätigen.

EDIT:
und algebraisch in Sekunden :

$\begin{eqnarray*} 3 t_3^4 + 24000t_3^3+11200000t_3^2-7350000000t_3+560250000000=0 \end{eqnarray*}$

28.10.2024, 16:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} 3 t_3^4 + 24000t_3^3+11200000t_3^2-7350000000t_3+560250000000=0 \end{eqnarray*}$

Sicher? Meine obige Formel auf Sekunden umgerechnet ergibt abweichend $\begin{eqnarray*} {\color{red}9}~t_3^4 + 24000t_3^3+11200000t_3^2-7350000000t_3+560250000000=0 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

30.10.2024, 08:41

Dopap

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'hab nochmal nachgeschaut und es ist tatsächlich nur ein Tippfehler.

Die nächste Versuchsfahrt wird voraussichtlich auf der Transrapid Teststrecke stattfinden
und dann ist wahrscheinlich Ende mit Algebra beim Rückrechnen von $\begin{eqnarray*} t_1,t_2,t_3 \end{eqnarray*}$

Bereits der Versuch des automatisierten Vorwärts Rechnen bei gegebenem
Zeitvektor nervt den Taschenrechner und mich unglücklich

30.10.2024, 11:18

HAL 9000

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Ich wundere mich, dass du solche Sachen immer mit deinem "Taschenrechner" bearbeitest:

Offenkundig sitzt du ja vor einem Computer und nicht nur vor einem Handy (das schließe ich mal aus der guten optischen Qualität deiner Beiträge), da kannst du doch auch ohne weiteres den Computer rechnen lassen. Und egal welches Programm bzw. Programmiersprache du dazu wählst (meine Empfehlung wäre Python, ist auch kostenlos verfügbar), deinen TR wird das geschwindigkeitsmäßig um Längen schlagen. Und man muss als Anfänger ja auch nicht gleich so "sophisticated" programmieren wie beispielsweise Finn_ - auch mit einem sehr einfachem Stil, der nur wenige Sprachelemente nutzt, kann man schon gute Resultate erzielen. Augenzwinkern

31.10.2024, 07:04

Dopap

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Nun, mein bester Freund arbeitete bei Hp und lieh mir 1972 mal den TI ?? mit Kartenleser
ud 100 Programmschritten (DM 3000.-)
1987 schenkte er mir seine workstation in HP-BASIC ( DM 50000) und unglaublichen 8 Aluplatten mit je 64 Chips = ca. 2MByte RAM.
Ich besaß die TRs Ti-19, TI-29c , TI 28S und ab 2004 den TI-50g mit Thermotransfefdrucker, Sc Karte und Handbuch mit ca. 1000 Seiten. Nach Jahren sind mir vielleicht 75% der Möglichkeiten bekannt. Bei Nachhilfe aber stets im Gebrauch.
Die RPN Sprache ist mir zudem wie Kölsch dem Kölner.
Ansonsten am Mainframe COBOL, PL1, ASSEMBLER und TURBO Pascal am PC.

"Natürlich" verwende ich am Laptop eine Software-Simulation des Originals und kann dort
sogar das Tempo von 1x bis ca. 70x einstellen und die große Tastatur benutzen.

========================================================================
(III)

Der Versuchsleiter gibt 3 variable Beschleunigungen des Transrapid Testschlittens in dieser nahtlosen Reihenfolge vor:

Stufe A mit $\begin{eqnarray*} a_1(t) := 3 + \sqrt t \quad \end{eqnarray*}$ für die Zeitspanne $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$
Stufe B mit $\begin{eqnarray*} a_2(t) := 1-\frac {t}{20} \quad \end{eqnarray*}$ für die Zeitspanne $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$
Stufe C mit $\begin{eqnarray*} a_3(t) := \frac {-9}{6-\tfrac {t}{10}} \quad \end{eqnarray*}$ für die Zeitspanne $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$

Aufgabe ist, den Vektor $\begin{eqnarray*} (t_1,t_2,t_3) \end{eqnarray*}$ mindestens Stoppuhrengenau so zu
bestimmen, dass der Schlitten aus dem Stand heraus nach 60s die 5000m Marke
mit genau 72 m/s passiert.

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Zu meiner Erleichterung waren Taschenrechner zur Prüfung zugelassen Augenzwinkern

01.11.2024, 11:54

DrummerS

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Zitat:

Original von Dopap
...
(III)
...

Interessante Aufgabe smile

. Ich übe zurzeit Programmieren und habe einen Brute-Force-Ansatz (C++) geschrieben. Zur Überprüfung: Wäre bei einer angenommenen Auflösung von 1/100 Sekunden zum Beispiel $\begin{eqnarray*} t_{1} = 17.03 s \end{eqnarray*}$ eine Lösung für $\begin{eqnarray*} t_{1} \end{eqnarray*}$ ?

01.11.2024, 18:59

Dopap

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mein Wert ist $\begin{eqnarray*} t_1\approx 17.07s \end{eqnarray*}$

01.11.2024, 19:37

HAL 9000

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Ich skizziere mal, wie ich es angehen würde (für die konkrete Ausführung habe ich aber keine Lust - bin zweimal über Dopaps Stöckchen gesprungen, das reicht erstmal):

1) Darstellung des Weges $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und der erreichten Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach 60 Sekunden in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ (d.h. mittels $\begin{eqnarray*} t_2=60-t_1-t_3 \end{eqnarray*}$ für die mittlere Zeit). Die notwendigen Integrationen sind hier gut machbar, d.h., mit expliziten Termen.

2) Lösung der Vektorgleichung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s\left(t_1,t_3\right)-5000\\ v\left(t_1,t_3\right)-72\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Sehr schnelle Konvergenz hätte dabei das mehrdimensionalen Newtonverfahren - vorausgesetzt, man findet einen Startwert nahe genug an der Lösung, so dass das Verfahren dort funktioniert.

01.11.2024, 20:35

Dopap

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ja genau, die expliziten Funktionen sind vorerst das Problem.
Für den Gesamtweg entsteht z.B. als Funktion

$\begin{eqnarray*} 120\cdot S(t_1,t_2,t_3) := \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (10800t_1 +648000 )ln(|60-t_3|)-((10800t_3-648000)ln(60)-(180t_1^2+(360t_2+360t_3)t_1- \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t_2^3+(3t_3-60t_2^2-120t_3t_2+10800t_3)+(32t_1^2+(80t_2+80t_3)t_1)\sqrt t_1 \end{eqnarray*}$

entsprechend $\begin{eqnarray*} V(t_1,t_2,t_3):=... \end{eqnarray*}$

und natürlich $\begin{eqnarray*} T(t_1,t_2,t_3):= t_1+t_2+t_3 \end{eqnarray*}$

zum Glück braucht der eingebaute MEQS keine partiellen Ableitungen.
5000 und 72 sind leicht gerundete Werte von S(20,20,20) sowie V(20,20,20) und deshalb
ist (20.0, 20.0, 20.0) ein guter Startwert bei der Rückwärtsrechnung.

02.11.2024, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
"Natürlich" verwende ich am Laptop eine Software-Simulation des Originals und kann dort
sogar das Tempo von 1x bis ca. 70x einstellen und die große Tastatur benutzen.

Mein älterer Bruder hatte Anfang der 1980er Jahre für sein Ingenieurstudium gebraucht einen programmierbaren Taschenrechner TI-58C erworben (war nicht einfach und auch sauteuer, so ganz ohne Westbeziehungen), auf dem ich meine ersten bescheidenen Programmiererfahrungen gesammelt habe. Vor ein paar Jahren habe ich aus Nostalgiegründen auf meinem Handy eine entsprechende App installiert, die diesen TR in Look & Funktion weitgehend emulieren kann.

Dennoch würde es mir nicht im Traum einfallen, diese App für wirklich umfangreiche Rechnungen einzusetzen: Zu langsam, zu aufwändig dort umfangreiche Algorithmen umzusetzen, zu eingeschränkte Ausgabemöglichkeiten ... die Liste kann man noch weiter fortsetzen. D.h., meine nostalgischen Anwandlungen haben ihre Grenzen. smile

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