Flussintegral über Ellipse

26.10.2024, 16:34

schucki

Flussintegral über Ellipse

Meine Frage:
Guten Tag an alle,

Ich beschäftige mich gerade mit Topologie und habe hier eine Frage zu einer Aufgabe, da ich mir mit Oberflächenintegralen noch etwas schwer tue.

Gegeben ist der Parameterbereich D = {u,v $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{2},\frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{v^{2}}{b^{2}}\leq 1 \end{eqnarray*}$ }
Ein Flächenstück mit Parametrisierung K: Abschluss D -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$
K(p) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ h(p) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit Höhenfunktion h(p) = $\begin{eqnarray*} p_1 + 2p_2 + 1 \end{eqnarray*}$
Und ein Vektorfeld H: K -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$
H(x) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_3 \\ x_1 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnet werden soll das Flächenintegral 2. Art von H über K.
Als Hinweis ist ebenfalls noch gegeben dass der Flächeninhalt einer Ellipse gleich $\begin{eqnarray*} 4*\pi *a*b \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Nach langer Rechnerei bin ich zu dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} -a*b*\pi \end{eqnarray*}$ gekommen, allerdings habe ich den Hinweis nicht benötigt, was mich etwas stutzig macht. Könnte mir da einer von euch helfen?

Danke schonmal im voraus

26.10.2024, 17:37

schucki

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RE: Flussintegral über Ellipse
Hier ist noch mein Ansatz für die Integration:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{-a} \! \int_{-b\sqrt{1-\frac{u^2}{a^2} } }^{b\sqrt{1-\frac{u^2}{a^2} } } \! -3u-v-1 \, dvdu \end{eqnarray*}$

Ich bin mir eigentlich recht sicher dass ich das Integral richtig gelöst habe, ich glaube eher dass ich einen Fehler beim wählen der Grenzen bzw. bei dem Aufstellen des Integranden gemacht habe.

27.10.2024, 13:53

trancelocation

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RE: Flussintegral über Ellipse
Zunächst einmal ist die Fläche der Ellipse $\begin{eqnarray*} \pi a b \end{eqnarray*}$ (und nicht $\begin{eqnarray*} 4\pi a b \end{eqnarray*}$ , wie du schreibst). Außerdem sind in deinem Ansatz die Integrationsgrenzen a und - a vertauscht. Auch beim Integranden stimmen die Koeffizienten von x und y nicht.

Nun zu deiner Frage:
Du brauchst den Hinweis zur Fläche der Ellipse nicht, denn beim vollständig Auswerten des Integrals berechnest du diesen Flächeninhalt automatisch mit.

Der Hinweis auf die Ellipsenfläche deutet aber darauf hin, dass es bei der Berechnung des Oberflächenintegrals "Abkürzungen" geben könnte, mit denen man schnell zum Ergebnis kommt. Zum Beispiel so:

Zur Übersichtlichkeit verwende ich $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ als Variable und bette alles in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} D = \left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^2\,|\, \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K = \left\{\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3\,|\, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\in D;\; z=x+2y+1\right\} \end{eqnarray*}$

Damit liegt $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in der Ebene $\begin{eqnarray*} z=x+2y+1 \end{eqnarray*}$ .

Den Normalenvektor n kannst du mit den partiellen Ableitungen von K und dem Kreuzprodukt bestitmmen:
$\begin{eqnarray*} n = K_x \times K_y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit erhältst du:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \begin{array}{rcl}\int_K H\cdot do & = & \int_D H\cdot n\, d(x,y) \\& = & \int_D \begin{pmatrix} z \\ x\\ x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix}\;d(x,y)\\& = & -\int_D (2x+2y+1) \;d(x,y)\end{array} \end{eqnarray*}$

Nun ist aber D symmetrisch bzgl. der x- und der y-Achse. x und y sind jeweils ungerade Funktionen. Damit ist

$\begin{eqnarray*} \int_D x \;d(x,y) = \int_{y=-b}^b\underbrace{\int_{x=-\sqrt{\ldots}}^{\sqrt{\ldots}} x\; dx\;}_{=0} dy = 0 \end{eqnarray*}$

Analog ist $\begin{eqnarray*} \int_D y \;d(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} \int_D 1\; d(x,y) \end{eqnarray*}$ . Das ist aber die Fläche der Ellipse. Also

$\begin{eqnarray*} \int_K H\cdot do = -\underbrace{\int_D 1\; d(x,y)}_{=\pi ab} = -\pi ab \end{eqnarray*}$

27.10.2024, 18:42

schucki

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RE: Flussintegral über Ellipse
Ja, das ist mir im Latex code verrutscht hahaha

Vielen Dank dir für die Erläuterung, der Hinweis lautet aber tatsächlich $\begin{eqnarray*} 4\pi ab \end{eqnarray*}$ , vielleicht ist das aber auch ein Fehler der Assistenz.
Leider ist mir wie ich gerade sehe aber tatsächlich ein Fehler unterlaufen, und zwar ist H eigentlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} h(p) \\ p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das ändert aber natürlich nichts an dem Wert des Integrals.
Das mit der Symmetrie ist mir garnicht in den Sinn gekommen, kommt dass dann daher dass man quasi auf beiden "Seiten" der ungerade Funktion das gleiche hat nur einmal negativ und einmal positiv?

28.10.2024, 06:05

trancelocation

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RE: Flussintegral über Ellipse

Zitat:

Leider ist mir wie ich gerade sehe aber tatsächlich ein Fehler unterlaufen, und zwar ist H eigentlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} h(p) \\ p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das ändert aber natürlich nichts an dem Wert des Integrals.

Wenn H so aussieht, ist dein Integrand richtig: $\begin{eqnarray*} -3x-y-1 \end{eqnarray*}$ . Und wie du richtig bemerkt hast, ändert das nicht den Wert des Integrals.

Zitat:

kommt dass dann daher dass man quasi auf beiden "Seiten" der ungerade Funktion das gleiche hat nur einmal negativ und einmal positiv?

Das ist einen nette prosaische Beschreibung der folgenden Tatache:

Wenn $\begin{eqnarray*} f:\: [-a,a]\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar und ungerade ist (also $\begin{eqnarray*} f(-t) = -f(t) \end{eqnarray*}$ ), dann gilt
$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a f(t)\; dt = 0 \end{eqnarray*}$

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