Wenn f(f^{-1}(B)) = B gilt, dann ist f surjektiv

26.10.2024, 18:45

KonverDiv

Wenn f(f^{-1}(B)) = B gilt, dann ist f surjektiv

Hallo,

Angenommen $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subset Y \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \forall B \subset Y : f(f^{-1}(B)) = B \end{eqnarray*}$ , dass dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Ich würde das so versuchen. Sei $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ beliebig, dann ist $\begin{eqnarray*} b \in f(f^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ und es gibt $\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(B) \subset X \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ beliebig war, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Was haltet Ihr davon? verwirrt

26.10.2024, 19:02

HAL 9000

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Warum nicht einfach so: Nutze

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall B \subset Y : f(f^{-1}(B)) = B \end{eqnarray*}$

speziell für $\begin{eqnarray*} B=Y \end{eqnarray*}$ : Das entstehende $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(Y)) = Y \end{eqnarray*}$ macht doch die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unmittelbar klar.

26.10.2024, 19:18

KonverDiv

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Hallo @HAL 9000 danke für deine Antwort! smile

Ich habe zwei Fragen. Erstens, wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} B = Y \end{eqnarray*}$ (das ist ja "nur" ein Spezialfall). Zweitens, was sagst du zu meinem Vorgehen, irgendwelche Fehler entdeckt? verwirrt

26.10.2024, 23:22

HAL 9000

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Was erzählst du das für einen Unfug, von wegen "Spezialfall" ??? Forum Kloppe

Du hast explizit geschrieben, dass für alle $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ diese Gleichung gelten soll, also insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} B=Y \end{eqnarray*}$ - was spricht also dagegen, das zu nutzen?

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Du solltest mal klarstellen:

1) Wird vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}\left(B\right)\right) = B \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ gilt? Dann ist an meinem Vorgehen nichts auszusetzen.

2) Soll $\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}\left(B\right)\right) = B \end{eqnarray*}$ nur für ein $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ gelten? Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ i.a. nicht surjektiv, wie man leicht durch ein Gegenbeispiel nachweisen kann, d.h., deine Behauptung ist dann falsch.

3) Eine weitere Möglichkeit wäre, dass du mit $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ nur echte Teilmengen meinst, d.h. klarer geschrieben: $\begin{eqnarray*} B\subsetneq Y \end{eqnarray*}$ . Ist das so? In dem Fall darf man tatsächlich nicht mit $\begin{eqnarray*} B=Y \end{eqnarray*}$ argumentieren.

27.10.2024, 13:11

KonverDiv

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du hast explizit geschrieben, dass für alle $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ diese Gleichung gelten soll, also insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} B=Y \end{eqnarray*}$ - was spricht also dagegen, das zu nutzen?

Hallo HAL 9000, spricht nichts dagegen! smile

Ich wollte dich nicht verärgern... smile

Zitat:

Original von HAL 9000 1) Wird vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}\left(B\right)\right) = B \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ gilt? Dann ist an meinem Vorgehen nichts auszusetzen.

JA, gilt für alle, also passt dein Ansatz!

Zitat:

Original von HAL 90002) Soll $\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}\left(B\right)\right) = B \end{eqnarray*}$ nur für ein $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ gelten? Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ i.a. nicht surjektiv, wie man leicht durch ein Gegenbeispiel nachweisen kann, d.h., deine Behauptung ist dann falsch.

Zitat:

Original von HAL 90003) Eine weitere Möglichkeit wäre, dass du mit $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ nur echte Teilmengen meinst, d.h. klarer geschrieben: $\begin{eqnarray*} B\subsetneq Y \end{eqnarray*}$ . Ist das so? In dem Fall darf man tatsächlich nicht mit $\begin{eqnarray*} B=Y \end{eqnarray*}$ argumentieren.

Die Punkte sind nicht weiter spezifiziert von der Aufgabe her, also hier habe ich keine Infos vorliegen, um das zu klarzustellen.

27.10.2024, 13:33

tobit

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Hallo zusammen,

hiermit möchte ich noch die Frage nach der Korrektheit der im Ausgangspost genannten Lösung beantworten.

Vorweg:
Die Aufgabe ist etwas komisch formuliert, weil sowohl eine (eigentlich nichts mit der Aufgabe zu tun habende) Menge $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ in den Voraussetzungen genannt wird, als auch über alle Mengen $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ quantifiziert wird. Der Bezeichner $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wird also in zwei Bedeutungen verwendet. Vielleicht gibt es weitere Aufgabenteile, in denen die gegebene Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine Rolle spielt?
Ich interpretiere außerdem für diese Antwort $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ . Ob diese Annahme korrekt ist, hängt von den Konventionen des Autors der Aufgabe ab, die KonserDiv vermutlich besser kennt als ich.

Im Lösungsversuch aus dem Ausgangspost wird korrekt gezeigt, dass für jedes $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ existiert.
Um die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, muss jedoch für jedes $\begin{eqnarray*} b\in Y \end{eqnarray*}$ , nicht nur für jedes $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , die Existenz eines $\begin{eqnarray*} a\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ nachgewiesen werden.

Viele Grüße
Tobias

27.10.2024, 14:22

KonverDiv

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Hallo @tobit, danke für deine Anmerkungen! smile

Absolut nachvollziehbar. Zu dumm von mir, die Surjektivität nur $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} b \in Y \end{eqnarray*}$ gezeigt zu haben Hammer

Wenn ich HAL 9000 seine Antwort richtig verstehe, dann war die zugrunde liegende Idee, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ selbst eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist und weil wir $\begin{eqnarray*} \forall B \subset Y : f(f^{-1}(B)) = B \end{eqnarray*}$ gefordert haben, geht dann $\begin{eqnarray*} B = Y \end{eqnarray*}$ und damit folgt dann die Surjektivität.

27.10.2024, 14:33

tobit

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Ja, ich denke, du hast HAL 9000 richtig verstanden.

27.10.2024, 17:16

IfindU

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Etwas interessanter ist es, wenn $\begin{eqnarray*} B \subsetneq Y \end{eqnarray*}$ gefordert ist. Hier braucht man (wenigstens ich brauche) die Fallunterscheidung mit $\begin{eqnarray*} |Y| = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |Y| > 1 \end{eqnarray*}$ .

27.10.2024, 17:35

KonverDiv

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Zitat:

Original von IfindU
Etwas interessanter ist es, wenn $\begin{eqnarray*} B \subsetneq Y \end{eqnarray*}$ gefordert ist. Hier braucht man (wenigstens ich brauche) die Fallunterscheidung mit $\begin{eqnarray*} |Y| = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |Y| > 1 \end{eqnarray*}$ .

Damit habe ich mich noch nicht weiter befasst, aber willst du vielleicht deine Gedanken teilen? smile

27.10.2024, 17:40

IfindU

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Gedanken dazu wären: $\begin{eqnarray*} |Y| = 1 \end{eqnarray*}$ ist trivial. Es ist $\begin{eqnarray*} Y = \{ y \} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} X \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ~~weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist~~ , und $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ (weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Funktion ist und alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Wert abbilden muss auf irgendwas. Und gibts wenig Auswahl auf was).

Für $\begin{eqnarray*} | Y | > 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{ y \} \subsetneq Y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ . Für ein solches $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(f^{-1} (\{y\}) ) =\{y\} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist im Bild. Da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beliebig, folgt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Edit: Man muss $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht-leer fordern. Offenbar ist das nicht gefordert, damit $\begin{eqnarray*} f \colon X \to Y \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist.

27.10.2024, 17:57

tobit

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Man muss bei dieser Aufgabenvariante mit $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ nicht explizit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nichtleer fordern, weil dies schon aus $\begin{eqnarray*} A\subsetneq X \end{eqnarray*}$ folgt.

27.10.2024, 18:05

IfindU

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RE: Wenn f(f^{-1}(B)) = B gilt, dann ist f surjektiv
Ich habe die echte Teilmengenrelation erst einmal nur für $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gefordert. Wenn man es auch für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ fordet, hast du Recht, so folgt $\begin{eqnarray*} X\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ implizit daraus (und ist sogar äquivalent mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht-leer).

29.10.2024, 07:55

HAL 9000

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RE: Wenn f(f^{-1}(B)) = B gilt, dann ist fsurjektiv

Zitat:

Original von KonverDiv
Angenommen $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subset Y \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \forall B \subset Y : f(f^{-1}(B)) = B \end{eqnarray*}$ , dass dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Ich hab den roten Teil ignoriert, weil er m.E. schlicht überflüssig bzw. (wegen der Doppelverwendung ein- und desselben Symbols $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) sogar verwirrend in Hinblick auf die eigentliche Aufgabenstellung ist:

Inwieweit soll denn irgendein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , welches sonst nie wieder auftaucht, Einfluss auf die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f:~X\to Y \end{eqnarray*}$ haben?

EDIT: Ich bin dabei davon ausgegangen, dass mit $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ die normale Teilmengenrelation gemeint ist. Eigentlich sollte man ohne Klarstellung dieses Symbol gar nicht verwenden, sondern stattdessen besser $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ , je nach Bedarf. Augenzwinkern

29.10.2024, 08:36

tobit

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Wenn man alle vorkommenden $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ interpretiert und dann die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ weglässt, wird die Aussage i.A. falsch:

Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} X=\emptyset \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ irgendeine einelementige Menge, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die eindeutig bestimmte Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ .

Setzt man hingegen ein $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ als gegeben voraus, kann man auf $\begin{eqnarray*} X\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ schließen, was man mit den Ideen von IfindU zu einem Beweis der Aussagenvariante mit $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ führen kann.

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